Niveau exercices

cercles rationnels

Posté par
plumemeteore 16-11-08 à 11:56

bonjour
dans un repère orthonormé, un point est qualifié ici de 'rationnel' si ses deux coordonnées son rationnels
on a le cercle de centre (0;0) et de rayon 1 (pour simplifier) et un autre cercle qui lui est sécant et dont le centre et au moins un point sont rationnels
quelles sont les conditions pour que les intersections des deux cercles soient rationnelles ?
démontrer que si une intersection est rationnelle, l'autre l'est aussi

Posté par re : cercles rationnels 16-11-08 à 11:57

première ligne : à écrire : 'sont rationnelles'

Posté par cercles rationnels 19-11-08 à 19:58

salut

si le centre et un point sont rationnels alors le rayon est rationnel
soit I(a,b) le centre et R son rayon et M(x,y) une des intersections à coordonnées rationnelles
alors x²+y²=1 et (x-a)²+(y-b)²=R²

soit ax+by=(1/2)[a²+b²+1-R²]= q

or ax+by est le produit scalaire des vecteurs OI et OM
notons w leur angle alors (cos w)²=q²/[(x²+y²)(a²+b²)] est rationnel

sauf erreur de calcul...

par symétrie l'autre point est rationnel