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Cercles tangeants et de même rayon

Posté par
Lopez
26-12-05 à 15:12

Bonjour,

et Joyeux Noël.

Je me trouve devant un problème peut-être simple mais je ne sais pas comment l'aborder : je dois construire un cercle et plusieurs autres cercles tangeants entre eux et de même rayon à l'intérieur de ce cercle.

Si quelqu'un peut me donner une indication se seait suffisant.

Merci


Posté par
JJa
re : Cercles tangeants et de même rayon 26-12-05 à 18:37

Une petite indication :
Pour n cercles à l'intérieur du grand cercle:
- Construire un polygone régulier à n cotés dans lequel le grand cercle est inscrit.
Par exemple, dans le cas où on veut obtenir 6 petits cercles, construire un hexagone circonstrit au grand cercle.
Note : ce n'est possible, à la règle et au compas, que si l'angle 2pi/n est "constructible".
- Tracer les n triangles isocèles identiques qui ont pour cotés les rayons du grand cercle et pour bases les n cotés du polygone.
- construire le cercle inscrit dans chaque triangle : On obtient ainsi les n cercles tangents deux à deux entre eux et tangents au grand cercle.

Posté par
Lopez
re : Cercles tangeants et de même rayon 26-12-05 à 20:38

Merci pour l'indication, je vais m'y mettre dès ce soir, et je vous dirais si j'y arrive.

Posté par
Lopez
re : Cercles tangeants et de même rayon 26-12-05 à 23:18

re bonsoir,

j'ai essayé avec le polygone régulier à 6 côtés (hexagone régulier) ça marche, j'obtiens 7 cercles intérieurs de même rayon et tangeants entre eux.
par contre avec un polygone régulier à 8 côtés, j'obtiens 8 cercles intérieurs identiques et un au centre de rayon plus grand.
comment faire dans ce cas?
  

Posté par
JJa
re : Cercles tangeants et de même rayon 27-12-05 à 08:58

Dans l'énoncé de la question, il n'est pas demandé expressément de construire un cercle au centre des n petits cercles.
Une autre méthode pour résoudre le problème :
Le grand cercle (C) étant donné, dans un autre endroit quelconque de la page, tracer un empilage de petits cercles (c'1)(c'2)...(c'n) tangents entre eux, tous de même rayon ( ce rayon étant de longueur quelconque). Tacer un grand cercle (C') qui entoure cet ensemble de petits cercles. Construire le centre d'homothétie de (C) et (C'). Par l'homothétie qui fait passer de (C') à (C), l'ensemble des petits cercles (c'1)(c'2)...(c'n) donne les petits cercles (c1)(c2)...(cn) à l'intérieur du grand cercle donné (C).

Posté par
Lopez
re : Cercles tangeants et de même rayon 27-12-05 à 09:37

bonjour,

la deuxième méthode me semble un peu compliquée, après tout tu as peut-être raison, rien ne précise qu'il faut un cercle au centre de même rayon.
si ce n'est pas trop te demander, comment tu construis le centre de l'homothétie qui fait passer d'un cercle à un autre?

Posté par r j r (invité)Cercles tangeants et de même rayon - une réponse 27-12-05 à 09:55

Bonjour / soir,

Tel que je comprends la question posée :
-> un (grand) cercle de centre:O et de rayon:R
-> plusieurs (petits) cercles - nombre:N - de rayon:r - tangents à leur voisin ET au grand cercle. Je suppose que le dernier cercle (le N ième) doit aussi être tangeant au 1er.
La méthode de JJa permet de "construire" une solution (c'est à dire, à la régle et au compas). Elle n'est possible (comme il en fait la remarque) que si le cercle peut ètre divisé en N arcs de cercle égaux. Cela est facile (règle compas) si N est (un entier) pair, mais si N est impair ? Je ne sais pas faire pour N=5 ou N=7 par exemple, (mais pour N=3 oui).
Ceci dit, les données (connues) du pb sont :
1) valeur de R, rayon du grand cercle.
2) nombre N de petits cercles à y inscrire.
La solution graphique permet de déterminer :
1) la position du centre des N petits cercles.
2) leur rayon r.
Une fois tous les petits cercles tracés il reste "de la place" au centre de la figure (sauf pour N=2). On peut y inscrire un cercle tangeant aux N autres, de rayon r'r (sauf, peut être, pour N=6 - exagone - je n'ai pas "calculé")

Posté par
JJa
re : Cercles tangeants et de même rayon 27-12-05 à 09:58

Je suis d'accord que la deuxième méthode demande plus de manipulations de la règle et du compas que la première.
Le point d'intersection entre une droite tangente aux deux cercles et la droite passant par leurs centres est un centre d'homothétie des deux cercles.
Remarque : si par hasard les cercles sont égaux, l'homothétie peut être remplacée par une simple translation.

Posté par
Lopez
re : Cercles tangeants et de même rayon 27-12-05 à 10:05

Merci à vous deux, JJa et r j r

Posté par r j r (invité)Cercles tangeants et de même rayon - une réponse - suite 27-12-05 à 12:36

Bonjour /soir,

suite: Il s'agit donc de construire (règle, compas - comme les Grecs où Egyptiens d'il y a 3000 ou 4000 ans) le cercle inscrit dans un triangle isocèle (suite de la solution de JJa).
Pour des Pb de géométrie - tracer, construire ou calculer - il est fort utile de tracer (à main levée - c'est souvent possible) une figure du Pb résolu.
Donc ici:
1) le triangle isocèle O E F , portion du polygone à N côtés circonscrit au grand cercle de centre:O et de rayon:R.
- Ce triangle O E F est tangeant en A à ce grand cercle (O).
- A est le milieu du segment E F.
- O A est une hauteur de ce triangle  -  O A = R.
- triangle isocèle car O E = O F.
2) le petit cercle, de rayon:r (à déterminer) et de centre:a (à placer).
- Ce petit cercle (a) est inscrit dans le triangle O E F.
- Il est tangeant; en A au côté E F (et aussi au cercle (O)), en f au côté O E, et en e au côté O F. les angles: O A F ; O f F ; O e E ; sont 3 angles droits.
- Le centre:a du petit cercle inscrit est à l'intersection des 3 hauteurs ( O A ; F f ; E e ) du triangle. ==> comment le tracer ?
==> angles droits en f (et en A) le segment O F est donc le diamètre d'un cercle passant par les points O ; f ; F (et aussi A)
==> O F diamètre d'un cercle son centre est en e' ; milieu de O F.

On peut donc tracer le point f {intersection du cercle (de centre:e' - milieu de O F) et du segment O E}
Le point a , centre du petit cercle, est à l'intersection des 2  hauteurs: F f et O A (et aussi de la 3ème: E e).

Posté par
Lopez
re : Cercles tangeants et de même rayon 27-12-05 à 17:56

salut r j r

dans le 2) de ta construction il y a quelque chose qui me chiffonne, car le centre du cercle inscrit dans un triangle quelconque est l'intersection des trois bissectrices et non celui des hauteurs
ce n'est valable que pour un triangle équilatérale où les droites sont toutes les mêmes pour chaque sommet
le problème c'est : est-il possible de remplir l'intérieur d'un grand cercle de rayon R avec des cercles de rayon r tous tangeants entre eux et au grand cercle?

Posté par r j r (invité)Cercles tangents et de même rayon - une réponse - suite 2 28-12-05 à 09:47

En effet, j'ai commis une sérieuse erreur !

Le centre du cercle inscrit dans un triangle est bien à l'intersection des 3 bissectrices.
Pas de Pb pour, à la régle et au compas, construire la bissectrice d'un angle.

Au point 2) de ma réponse (fausse) ==> si l'angle  \widehat{OAF}  est bien droit, les angles  \widehat{OfF}  et  \widehat{OeE} ne le sont pas.

Il est possible de "remplir" un cercle de rayon R avec des plus petits de rayon r. La valeur de "R" étant donnée, si l'on veut que le dernier petit cercle (de rayon r) soit aussi tangent avec le premier, ce rayon r ne peut pas être "quelconque". Les données initiales doivent être :
- valeur de R
- N , nombre de petits cercles que l'on veut "inscrire" ds le grand. Par inscrire j'entends que les petits cercles sont tangents au grand de rayon R , ET aussi tangents entre eux.
-> De ces 2 données - R et N, par construction, on détermine la valeur de "r" et l'emplacement des centres des petits cercles.



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