cercles tangents

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cercles tangents
Posté par 
vham  26-09-20 à 21:08
Bonjour,



soient 3 cercles de rayons entiers différents tangents extérieurement 2 à 2.

Existe-t-il 2 cercles de rayons entiers eux aussi, tangent extérieurement aux 3 premiers cercles pour l'un, et auquel les 3 cercles donnés soient tangents intérieurement pour l'autre ?
 Posté par 
vhamre : cercles tangents  26-09-20 à 21:11
Si oui donner les valeurs des 5 rayons (entiers tous différents)
 Posté par 
dernyre : cercles tangents  26-09-20 à 22:18
Bonsoir

 Cliquez pour afficher
21  30  70  5  105
 Posté par 
dpire : cercles tangents  27-09-20 à 09:23
Bonjour,

Un parfum de Soddy.

Je chercherai plus tard.
 Posté par 
vhamre : cercles tangents  27-09-20 à 11:04
Bonjour,



Je me suis aventuré sans savoir que Soddy était un grand classique...

il faut bien sûr avoir une solution de 5 entiers n'ayant pas tous un même diviseur entier

Avoir une solution dont tous les rayons sont supérieurs à 100 n;est pas si immédiat !
 Posté par 
dernyre : cercles tangents  27-09-20 à 11:35
Bonjour

 Cliquez pour afficher
23  46  69   138  6
 Posté par 
dpire : cercles tangents  27-09-20 à 16:06
Bonjour,



 Cliquez pour afficher
Une première vérification est de trouver que (R1+R2+R3)R1R2R3 est un carré entier  (Th Descartes)

 Posté par 
dpire : cercles tangents  28-09-20 à 07:34
>vham

le premier >100 rencontré:

 Cliquez pour afficher
1785  1173  782  391  102
 Posté par 
dpire : cercles tangents  28-09-20 à 07:37
Plus exactement:

 Cliquez pour afficher
2346   1173  782   391
 Posté par 
vhamre : cercles tangents  28-09-20 à 10:05
Bonjour,



--> dpi : derny a donné les 2 premières bonnes configurations

la configuration que vous donnez le  28-09-20 à 07:37

est le produit par 17 de celle donnée par derny le  27-09-20 à 11:35

donc ne convient pas 

 Cliquez pour afficher
(391  782  1173   102 2346) /17  (23  46  69   6 138)
 Posté par 
dpire : cercles tangents  28-09-20 à 17:30
>derny

j'ai vu tes réponses:



 Cliquez pour afficher
En ayant r1,r2,r3  dont k1,k2,k3 on obtient k4 donc r4 et k5 donc r5.

Quelle est ton astuce pour avoir r4 entier à part bien sûr les multiples comme l'a

remarqué vham
 Posté par 
dpire : cercles tangents  29-09-20 à 08:21
Suite

J'ai enfin trouvé



 Cliquez pour afficher
EXEMPLE

306  153 136  72  17

je peux en donner autant qu'il faut....

 Posté par 
dpire : cercles tangents  29-09-20 à 09:20
>vham



Je donne le premier groupe dont les rayons sont100.

c'est bien sûr le multiple du premier donné par derny



 Cliquez pour afficher
2100  1400  600  420  100

Un exemple personnel:

1785 1190  595  510 105
 Posté par 
dpire : cercles tangents  29-09-20 à 12:09
A noter que  le plus petit cercle dans les groupes  solution des 5 doit  avoir un rayon premier sinon on tombe sur un multiple des solutions initiales.

EXEMPLE:

414  207 138  69 18  <----->138 69 46 23 6    (k3)

PAR CONTRE:

306 153  136  72   17 est une solution initiale.



Cet exercice est passionnant.MERCI
 Posté par 
mathafou re : cercles tangents  29-09-20 à 14:58
bonjour



par force brute avec les rayons des trois cercles de base < 500

les solutions "primitives" sont :

 Cliquez pour afficher


>>> 

15 15 10 2 30

63 56 56 9 126

69 46 23 6 138

70 30 21 5 105

72 45 45 8 120

80 80 36 9 180

153 136 72 17 306

168 168 150 25 350

231 231 88 24 616

238 119 102 21 357

264 200 75 22 825

270 189 70 21 945

290 87 58 15 435

390 286 165 39 715

429 143 78 22 858



dans lesquelles on remarque de très nombreux cas où le rayon du petit cercle n'est  pas un nombre premier.
 Posté par 
mathafou re : cercles tangents  29-09-20 à 15:08
le plus petit primitif avec tous les rayons >100 que je trouve est 



 Cliquez pour afficher
1005 938 402 105 2345
 Posté par 
dpire : cercles tangents  29-09-20 à 15:51
Comme j'ai la "recette" j'ai regardé  ton blank.



Je n'ai pas tenu compte des cas de r égaux.

Certaines valeurs de r4 sont difficiles à trouver..



 Cliquez pour afficher
Un exemple de mon "bidule"

621  593  501 54  1242

 Posté par 
dpire : cercles tangents  29-09-20 à 16:01
fourchage de yeux...

 Cliquez pour afficher
621  414   207  54  1242
 Posté par 
mathafou re : cercles tangents  29-09-20 à 16:33
je pense que tes dernières valeurs sont fausses... 

>edit : je n'ai rien dit. après ta correction, 0K
 Posté par 
mathafou re : cercles tangents  29-09-20 à 16:58
quoique ... PGCD = 9
 Posté par 
vhamre : cercles tangents  29-09-20 à 21:20
Bonsoir,



Merci à tous, vos résultats confortent les miens,

En éliminant les cas non primitifs et ceux où les rayons des trois cercles de base ne sont pas différents  
 Posté par 
dernyre : cercles tangents  29-09-20 à 22:33
Bonsoir. Vous avez la recette. Alors je vais vous posez une série de problèmes du même genre. J'ouvre un autre sujet.
 Posté par 
dpire : cercles tangents  30-09-20 à 07:52
Effectivement 621 414 207 54  1242 est une série multiple d'une "primitive".

Donc qu'en on en trouve une  ,il faut rajouter un test de diviseurs...
 Posté par 
dpire : cercles tangents  30-09-20 à 08:02
Je donne  658   329   141   42   1974  qui me semble correct.
 Posté par 
vhamre : cercles tangents  30-09-20 à 14:26
Bonjour,



658   329   141   42   1974  est un résultat correct. 
 Posté par 
dpire : cercles tangents  01-10-20 à 08:26
à <700

Deux cas voisins:

693  126  77 ---> 22  1386

696  145  120--->29   870

Je stopperai à 1000 
 Posté par 
dpire : cercles tangents  03-10-20 à 15:25
Comme annoncé :



le plus grand r1<1000 est  990



990 ; 946 ; 574--->123 ; 41
 Posté par 
dpire : cercles tangents  03-10-20 à 15:38
Erreur de parallaxe...



990  ; 385  ; 315  --->70 ;1386
  Posté par 
dpire : cercles tangents  04-10-20 à 18:52
Je donne la liste des quintuplés  répondant au problème de vham

avec r 1<1000

exception  le r4> 100 trouvé par mathafou

Il y a peut-être des "trous dans la raquette" 