Bonjour,

Merci de donner un énoncé complet, au mot près.
Il manque le rayon du grand cercle.
Comment sont placé I et J ?
etc...

Comment sont placés

les cercles sont tangents 2 à 2.
Le cercle de centre I est tangent au cercle de centre K qui est tangent au cercle de centre J qui est tangent au cercle de centre I.
Ces 3 cercles étant tangents au grand cercle, IO= IJ=4cm
puisque les cercles de centre I et J sont identiques le rayon du grand cercle ( celui qui entoure les 3 "intérieurs" ) = 2 IO= 8

Bonjour,

en utilisant pythagore
OK² + OI² = KI²
je trouve 16 = (4+r)² + (8-r)²
c'est pourquoi je me suis demandé si le rayon OI c'est 4, est-ce que ce ne serait pas le diamètre

je prends 5 mn pour vérifier..
a tout à l'heure
merci

J'ai bien l'impression qu'il y a de la bisbrouille dans ton énoncé.

Ne serait-ce pas plutôt :
Le rayon du grand cercle extérieur = 4 cm.
Les rayons des cercles de centre I et J = 2 cm
Le rayon du cercle de centre K = r

Dans ces conditions:

IK = 4+r
OI = 4

Pythagore dans le triangle OIK:
IK² = OI² + OK²
(2+r)² = 4 + OK²
OK² = (2+r)² - 4

et OK = 4 - r -->

(4-r)² = (2+r)² - 4

(2+r)² - (4-r)² = 4
-----
Vérifie ton énoncé.  

Ta démonstration de 1) ne me convaint pas.
Comment sais-tu que (OK) est tangente aux deux cercles moyens ?

Autre proposition :
Puisque les cercles de centres I et K sont tangents, on a :
IK = rayon(cercle I) + rayon(cercle K) = 4+r
De même, JK = 4+r
Donc IK = JK : K est sur la médiatrice de [IJ]
O aussi.
Donc (OK) est la médiatrice de [IJ]
Donc (IJ) est perpendiculaire à (OK)
Donc OIK rectangle en O

Sauf erreur.

j'ai fait une grave erreur: j'ai interprété l'énoncé.
L'original énonce:
tout les cercles de la figure suivante sont tangents 2 à 2. Le plus grand cercle a pour rayon 4 cm, le plus petit a pour rayon r
On voit également dur la figure que les 2 cercles de centre I et J sont identiques...
c'est une bonne leçon.
Pour la démonstration IOK rectangle tu indiques
IK= rayon (cercle I) + rayon (cercle K) = 4+r
ça ne serait pas plutôt 2+r ?

Je me suis fié à ton énoncé initial, que tu es en train de changer...

Exact et désolé: je dois être plus attentif.
Voici où j'en suis
1°
les cercles de centre I sont tangents IK=2+r
idem JK
IKJ est un triangle isocèle
OI=OJ donc OK médiane de IKJ est aussi hauteur de IKJ donc OK perpendiculaire à IJ IOK rectangle en O.
2° justifier que (2+r)²-(4-r)²=4
dans IOK
IK²=IO²+OK²
(2+r)²=2²+ok²  
OK²=(2+r)²-4
OK²=4+4r+r²-4
OK²=4r+r²

Je reviens sur l'énoncé.
Dit-il que les cercles de centre I et J sont de même taille, et sont tangents en O, centre du plus grand cercle, ou bien est-toi qui le "lis" sur la figure ?

voici l'original

Il n'est pas passé.

Il est peut-être écrit en encre sympathique.

Que faut-il alors ? Une bougie pour révéler le jus de citron ?

désolé l'image n'est pas passé je recommence;
Question: est ce que cette image qui est un scan d'original est autorisée. Bon à savoir pour une prochaine fois
Merci

Les scans de figure sont autorisés.
Maintenant, redonne-nous l'énoncé, au mot près.
N'hésite pas à faire des copier-coller de ci-dessus, mais donne l'énoncé exact.

Voici
Tout les cercles de la figure suivante sont tangents deux à deux.Le plus grand cercle a pour rayon 4 cm, le plus petit a pour rayon r (en cm).
1) démontrer que le triangle IOK est rectangle
2)a) justifier que: (2+r)²-(4-r)²= 4

fausse manip voici la suite
2)b)
en déduire la valeur exacte du rayon r
3) quelle est la valeur exacte de l'aire coloriée?

On suppose que O est le centre du grand cercle.

Soit D la tangente commune aux cercles de centre I et J
(OJ) est perpendiculaire à D
(OI) est perpendiculaire à D
Donc (OI) // (OJ)
Donc (OI) = (OJ)
O, I et J sont alignés.

1) démontrer que le triangle IOK est rectangle
Puisque les cercles de centres I et K sont tangents, on a :
IK = rayon(cercle I) + rayon(cercle K) = 2+r (ceci est une conséquence du fait que les 2 centres et le point de tangence sont alignés, comme pour la démonstration précédente)
De même, JK = 2+r
Donc IK = JK : K est sur la médiatrice de [IJ]
O aussi.
Donc (OK) est la médiatrice de [IJ]
Donc (IJ) est perpendiculaire à (OK)
Donc OIK rectangle en O

2)a) justifier que: (2+r)²-(4-r)²= 4
Pythagore :
IK² = OI² + OK²
(2+r)² = 2² + (4-r)²
(2+r)²-(4-r)²= 4

2)b) en déduire la valeur exacte du rayon r

A toi de jouer !

la tangente commune aux cercles de centre I et J est OK, le point commun est O donc OJ perpendiculaire à OK et OI idem
mais

Je ne vois pas où est la contradiction.
Sur la figure que tu as scannée, (OI)//(OJ), non ?

Je précise...

Résultat préliminaire
Soit D la tangente commune aux cercles de centre I et J
(OJ) est perpendiculaire à D
(OI) est perpendiculaire à D
(OI) et (OJ) sont perpendiculaires à une même droite, donc (OI) // (OJ)
Or elles ont un point commun (O), donc (OI) = (OJ)
O, I et J sont alignés.

Comme souvent, il existe plusieurs définitions pour une même notion.

Pour certains, des droites dans un même plan sont soit parallèles, soit sécantes.

Où faut-il classer des droites confondues ?

Dans les sécantes ou dans les parallèles ou dans aucune des 2 catégories ?

Cela n'a aucune importance mais divisera sans fin certains matheux.

Cela dépend des définitions qu'on a adopté dans un plan pour:
- Des droites parallèles
- Des droites sécantes.

Si on se contente de dire que des droites // ont même direction, alors les droites confondues sont //.

Si on définit les // comme droites n'ayant, dans le plan, aucun point commun, alors c'est différent.

A quand les même définitions pour tous ?

Je connais la réponse: JAMAIS.

effectivement.
cette démonstration est rarement (jamais?)utilisée par mes enseignants.
Mais ces échanges sont enrichissant.
J'aime bien les maths alors en plus cet espèce de ping-pong cérébral est rigolo.
Bonne fin de journée à tous,et, certainement à bientôt.

Je comprends bien ton message, J-P.
Je ne compte absolument pas ouvrir une polémique sans intérêt sur le sujet.
Je témoigne juste que, dans toute ma scolarité en France, deux droites confondues étaient considérées comme parallèles.
Je ne parle que de mon expérience, sans généraliser.

Nicolas

Nicolas,

On m'a aussi appris que "deux droites confondues étaient considérées comme parallèles".

Mais je sais qu'il n'en va pas de même pour tous.

Les définitions sont loin d'être identiques et pour tous et se modifient au cours du temps (et malheureusement pas souvent pour de bonnes raisons).