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Niveau Prepa (autre)
Chaîne de Markov
Posté par ardea
Bonjour,
Je bute sur la question 4. (b), j'ai l'impression qu'il manque une hypothèse à l'énoncé (le fait que ΔXn+1 ne dépend que de ΔXn et pas des v.a. avec indice inférieur ou égal à n-1), ou alors je n'ai bien compris. J'ai réussi toutes les questions précédentes.
On considère un mobile qui se déplace le long d'un axe horizontal. On note Xn∈Z sa position au temps n∈N, et on suppose que sa position initiale est X0=0. On suppose que ΔXn=Xn+1−Xn∈{−1,1} pour tout n∈N et que les probabilités conditionnelles sont données par :
P(ΔXn+1=1∣ΔXn=1)=1/2+ϵ
P(ΔXn+1=1∣ΔXn=−1)=1/2−ϵ
où ϵ ∈ [0,12] est un réel fixé.
1.Pour n∈N, on pose pn=P(ΔXn=1). Exprimer pn+1 en fonction de pn. Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que p0=1.
2. Soit n∈N. Écrire pn en fonction de n. En déduire E(ΔXn).
3. Soit n∈N. Calculer E(Xn) en fonction de n.
4. Soit n∈N. Le but de cette question est de calculer V(Xn) en fonction de n.
(a) Soit i∈N. Calculer V(ΔXi) en fonction de pi.
(b) Soit (i,j)∈N² tel que i≠j. Calculer cov(ΔXi,ΔXj).
(c) Déduire des deux expressions précédentes V(Xn).
Bonsoir,
dans une chaîne de Markov la connaissance de l'état n suffit pour déterminer le calcul des probabilités pour l'état n+1. Ça ne veut pas dire que l'état n+1 est indépendant de tous les états précédents.
Par exemple quand tu as calculé pn en fonction de n tu as dû utiliser p0=1.
En reprenant le même calcul tu peux calculer P(
Xi+k=1|Xi=1) et P(Xi+k=1|Xi=-1) en fonction de k.
Bonjour,
Merci pour ta réponse.
Je n'arrive pas à calculer et
.
J'avais calculé en utilisant une récurrence simple et j'ai trouvé :
=
J'ai essayé d'utiliser la formule des probabilités totales :
=
=
+
Bonsoir,
je te présente mes excuses pour une réponse aussi tardive.
Ma suggestion n'était pas très bonne.
Tu as sans doute montré à la question 1. que .
On en déduit facilement que .
Bonsoir,
Pas de souci, c'est les vacances, je comprends. Merci pour ton aide.
Je n'arrive pas à relier ta deuxième proposition au calcul de la covariance.
J'ai surtout un problème pour calculer E(ΔXiΔXj). Si je pose j = i + k, je devrais quand même calculer les espérances conditionnelles en utilisant la formule de l'esperance d'un produit...
Merci d'avance.
Toujours en retard, mais en espérant être utile.
On a
On part donc avec et on arrive à :
Et on calcule de la même façon en prenant
Aaah, je comprends mieux. Pour l'autre cas on trouve :
Puis, en utilisant la formule de l'espérance d'un produit, on trouve :
Finalement, on obtient la covariance pour :
Pour le calcul de , j'utilise la formule :
Et on trouve :
Une dernière question me demande de calculer la limite en de
et
et d'interpréter.
C'est assez simple pour je trouve :
Pour , j'ai essayé de simplifier la somme obtenue en utilisant les propriétés des sommes doubles et j'ai obtenu un truc assez indigeste mais dont la limite est simple à calculer et vaut :
Pour l'interprétation en revanche... la moyenne du déplacement du mobile est constante alors que l'écart à la moyenne tend vers l'infini (vitesse moyenne constante avec accélération et décélération ?)
En tout cas merci beaucoup verdurin, ton aide m'a été vraiment utile, j'étais bloqué depuis un moment !
Je suis d'accord avec tes résultats et je dois avouer que je n'ai même pas essayé de calculer la variance de Xn.
En ce qui concerne l'interprétation :
— La limite de l'espérance est supérieure à 1 ( égale à 1 si 
=0 ) ce qui est normal car le processus aléatoire commence en 1 et que le sens positif est avantagé par 0=1. L'avantage est d'autant plus grand que est proche de 1/2.
— Le fait que la limite de la variance est infini est presque évident car la covariance entre les Xn est positive et leur variance tend vers 1.
On le voit bien dans ta formule avec .
Si on regarde le cas =0 la moyenne est toujours 1 ce qui est évident par symétrie et la variance est n.
Pour le cas =1/2, dont j'espère qu'il est exclu, l'espérance est n et la variance 0 car X_n est constante. On peut constater que la limite de l'espérance tend bien vers l'infini quand tend vers 1/2.