Avec

n=(a²+b²)*sinµ
et
m = a*sinµ + b*sinµ

n/m = (a²+b²)/(a+b) indépendant de µ.

Or L est bien dépendant de µ --> erreur d'énoncé.
-----
Sauf distraction.  

exact désolé !!

montre que que L=n/m

où n=(a2+b2)*sinµ

et m = a*sinµ + b*cosµ

Al Kashi dans le triangle BCD:

L² = a²+b² + BC² - 2.V(a²+b²).BC.cos(µ) (1)

Aire(DBC) = (1/2).L.b
mais aussi:
Aire(DBC) = (1/2).DB.BC.sin(µ)

--> L.b = DB.BC.sin(µ)

L.b = V(a²+b²).BC.sin(µ)

BC = L.b/(sin(µ).V(a²+b²))

(1) -->

L² = a²+b² + (L²b²/((a²+b²).sin²(µ))) - 2.V(a²+b²).(L.b/(sin(µ).V(a²+b²))).cos(µ)

L² = a²+b² + (L²b²/((a²+b²).sin²(µ))) - 2.(L.b/(sin(µ)).cos(µ)

L².(a²+b²).sin²(µ) = (a²+b²)².sin²(µ) + L²b² - 2L.b.(a²+b²).sin(µ).cos(µ)
-----

Vérifions si L =(a²+b²)*sinµ/(a*sinµ + b*cosµ) convient.

((a²+b²)³*sin²µ/(a*sinµ + b*cosµ)²)sin²(µ) =? (a²+b²)².sin²(µ) + ((a²+b²)²*sin²µ/(a*sinµ + b*cosµ)²).b² - 2.((a²+b²)*sinµ/(a*sinµ + b*cosµ)).b.(a²+b²).sin(µ).cos(µ)

(a²+b²)³*sin²µ.sin²(µ) =? (a²+b²)².sin²(µ).(a*sinµ + b*cosµ)² + (a²+b²)²*sin²µ.b² - 2.(a²+b²)*sinµ*(a*sinµ + b*cosµ).b.(a²+b²).sin(µ).cos(µ)

(a²+b²)*sin^4µ =? sin²(µ).(a*sinµ + b*cosµ)² + sin²µ.b² - 2.sinµ*(a*sinµ + b*cosµ).b.sin(µ).cos(µ)

(a²+b²)*sin²µ =? (a*sinµ + b*cosµ)² + b² - 2.(a*sinµ + b*cosµ).b.cos(µ)

a²sin²µ + b²sin²(µ) =? a²sin²µ + b²*cos²µ + 2ab.sin(µ).cos(µ) + b² - 2ab*sinµ*cos(µ) - 2b²*cos²µ

b²sin²(µ) =?  b²*cos²µ  + b²  - 2b²*cos²µ

b²sin²(µ) =?  -b²*cos²µ  + b²  

b².sin²(µ) =? b²(1-cos²(µ))

b².sin²(µ) =? b².sin²(µ)

Qui est une évidence.

Donc en supposant que L = (a²+b²)*sinµ/(a*sinµ + b*cosµ), on arrive à une évidence.
--> on a bien L = (a²+b²)*sinµ/(a*sinµ + b*cosµ)
-----
Si on n'aime pas ce genre de résolution, on peut reprendre la dernière partie en faisant les développements "à l'envers".

Il y a probablement plus direct.
-----
Sauf distraction.  

joli bravo !!

mais n'est ce point un peu compliqué comme résolution sachant que c'est un exo de première ??

J'ai refait les calculs en résolvant l'équation du second degré en L, et on trouve bon..
Chapeau bas, J-P !!!

Donc pas de résolution plus simple

Si je reprends la figure de J-P...
cos (ABD)=a/(a²+b²)
sin (ABD)=b/(a²+b²).
Donc
m=a*sinµ+bcosµ=(a²+b²)*sin(ABD+µ)= (a²+b²)*sin(BCD) car les deux angles sont summplémentaires.


Si j'écris l'aire du triangle BCD de deux manières :
1/2*L*b = 1/2*BC*sinµ*(a²+b²).
L*b=(b/sin(BCD)*sinµ*(a²+b²).
L=((a²+b²)/m)*sinµ*(a²+b²).
L=((a²+b²/m)*sinµ).
L=n/m

voilà qui est nettement plus simple !!

bravo à toi !!!

P.S : les smileys de ton pseudo sont de plus en plus resséré !! Lève le pied sur les enigmes