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challenge expérience aléatoire

Posté par
grenadine75 22-01-17 à 23:33

Bonsoir,

voilà un exercice sur les expériences aléatoires que je dois résoudre malheureusement bien qu'en L3 math appliquées je n'ai pas fait de proba depuis le lycée ... J'aurais besoin d'aide pour la réflexion parce que je ne trouve pas les réponses dans mon cours ou internet.

m personnes montent dans l'ascenseur d'une tour de N étages.
On suppose qu'indépendamment , chacun se rend à un étage choisi uniformément parmi
{1,...,N}
a) quel est le nombre moyen de boutons allumés?
b)Exprimer P(X=exactement k boutons allumés) pour k {1,...,N}

Pour c'est deux question je suppose que ={1,...,N}

c)Si m=[N], >0
Xi=nombres de pesonnes se rendant à l'étage i
Pour kN fixé, que vaut limN P(Xi=k)?

={1,...,m}

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
verdurinre : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 00:01

Bonsoir,
je ne vois pas comment répondre à la question a sans avoir répondu à la question b.
Mais je rate peut-être quelque chose d'évident.

La question c est vraiment mal rédigée, j'ai le sentiment que N désigne plusieurs objets.

Mais si j'ai bien deviné  la limite est zéro si k0 et 1 si k=0.

Posté par
jsvdbre : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 00:11

bonsoir Verdurin.

verdurin @ 23-01-2017 à 00:01

je ne vois pas comment répondre à la question a sans avoir répondu à la question b.

C'est justement là le ... "challenge" ...

Posté par
verdurinre : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 00:27

Bonsoir jsvdb.
Ta remarque est particulièrement inutile.

Posté par
flightre : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 00:46

salut

j'ai une petite idée sur la question ...

k représente le nombre de boutons allumés , ont suppose qu'a chaque fois qu'une personne entre dans l'ascenseur elle appuie sur le bouton correspondant à l'étage de son choix .
prenons un exemple  , seuls les bouton b1 et b2 sont allumés , voici une repartition des "appuis" possibles :
b1       b2
1        m-1
2        m-2
3        m-3
...
m-1      1       -->  ici il y a donc    (m-1) appuis et puisqu'il y a  N étages on peut choisir
deux etages de  C(N,2) facons , soit donc pour k = 2  --> P(X=2)=C(N,2).(m-1)/N^m.

si on prend le cas de 3 boutons allumés par le meme raisonnement on a  

P(X=3)= C(m-1,2).C(N,3)/N^m

pour 4 boutons :

P(X=4)= C(m-1,3).C(N,4)/N^m.

plus generalement  

P(X=k)= C(m-1,k-1).C(N,k)/N^m.

alors le nombre moyens de boutons appuiés est l'esperance de X

E = k.C(m-1,k-1).C(N,k)/N^m


sauf erreur

Posté par
flightre : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 00:49

..on voit vite que par exemple que  P(X=1)=C(m-1,0).C(N,1)/N^m = N/N^m

Posté par
grenadine75re : challenge expérience aléatoire 23-01-17 à 13:50

Bonjour,

Verdurin oui en fait c'est k appartient à et pas N .

Oui je pense que tu raison pour la limite d'ailleurs comme formule j'ai trouvé P(Xi=k)=C(m,k)*(N-1)^(m-k)/N^m
Est ce que ça vous semble correcte?

Posté par
verdurinre : challenge expérience aléatoire 24-01-17 à 10:30

Bonjour,
avec beaucoup de retard.

Sauf erreur de ma part.

Pour la question a) $E$(X)=\dfrac{N^m-(N-1)^m}{N^{m-1}}
résultat obtenu avec la formule du crible, après avoir fait la question b).

Pour la question b) $P$(X=k)=\dfrac{\text{S}_m^k \text{C}_N^k}{N^m}

où \text{S}_m^k désigne le nombre de surjections d'un ensemble à m éléments sur un ensemble à k éléments.

\text{S}_m^k=\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i}\text{C}_k^i i^m


Pour la question c).
Je crois avoir compris que m est la partie entière de N : m=\lfloor \alpha N \rfloor

Et dans ce cas on a bien \forall k\in\N \lim_{N\to\infty}$P$(X=k)=0

Posté par
veledare : challenge expérience aléatoire 24-01-17 à 17:08

>>Verdurin
d'accord pour E(X),j'ai une démonstration directe(enfin je crois) mais l'ordinateur sur lequel je l'ai tapée me dit que je ne suis pas autorisée à poster sur le forum??

Posté par
verdurinre : challenge expérience aléatoire 24-01-17 à 17:51

Salut veleda.
J'espère que le problème va s'arranger.

Sinon, j'ai aussi une démonstration directe. L'idée m'en est venu après avoir fait la question b) en calculant E(X) pour m=3.

C'est peut-être la même que la tienne.
Je la posterais demain, si tu ne peux toujours pas intervenir.

Posté par
veledare : challenge expérience aléatoire 24-01-17 à 18:09

je recommence  avec un autre ordinateur
soitB_1,B_2,...B_i,...B_Nles N boutons et b_1,b_2,...b_i....b_N les Nvariables de Bernoulli  prenant la valeur 1 si le bouton est allumé et 0 sinon
B_i reste éteint  avec  la probabilité  q=(1-\frac{1}{N})^m et  est allumé avec p=1-q=1-(1-\frac{1}{N})^m donc E(b_i)=1p+0q=p
et
E(\Sigma_{i=1}^Nb_i)=\sum_{i=1}^NE(b_i)=Np=N(1-(1-\frac{1}{N})^m)

Posté par
verdurinre : challenge expérience aléatoire 24-01-17 à 18:26


J'avais fait presque la même chose, mais en beaucoup plus compliqué pour le calcul de p.
Il y avais bien une méthode simple pour trouver l'espérance.

Posté par
grenadine75re : challenge expérience aléatoire 25-01-17 à 06:51

Merci beaucoup à tous  


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