je dirais 11 possibilités.

Pour accéder à une marche n on peut soit passer par la marche n-1 et terminer par 1, soit par la marche n-2 et terminer par 2..
Soit u_n , le nombre de manières pour atteindre la marche n, on a donc :
u_n=u_n-1+u_n-2 (suite de Fibonacci).
On peut calculer u₂₀ avec le nombre d'or ...ou plus simplement avec la calculatrice. C'est cette dernière solution que j'ai choisie.
En espérant ne pas m'être trompé , je trouve 10946 façons de gravir l'escalier de 20 marches.

Bonsoir,
on va faire péter les combinaisaons :

C10/0 + C10/1 + C10/2 + ... + C10/10 = 2.(1+10+45+120+210)+252=1024

=2¹⁰ à réfléchir...

BABA

Bonjour.
Je dirai qu'il y a 10 possibilités

Il doit y avoir du Fibonacci derrière ça, puisque pour atteindre la marche n+2, elle peut venir de la marche n ou de la marche n+1
Ce qui pour 20 marches doit faire 10946 façons de les monter

10946 possibilites

bonne révision des factorielles... merci

Il y a 11 solutions possibles :

10x2
9x2 + 2
8x2 + 4
7x2 + 6
6x2 + 8
5x2 + 10
4x2 + 12
3x2 + 14
2x2 + 16
1x2 + 18
0x2 + 20

Bonjour,

Réponse proposée : 10 946 solutions possibles pour gravir l'escalier

Méthode (dont je ne suis pas très fier ):
- examen des cas pour un nombre de marches faible,
- reconnaissance des termes de la suite de fibonacci
- méthode de borneo

Merci pour l'énigme,

Philoux

Cette gentille grenouille a 10946 possibilités de gravir ces 20 marches.

₁
Plutôt que de recenser tous les cas (on n'en finirait pas !), nous allons étudier la suite qui exprime le nombre de possibilités en fonction du nombre de marches.
Soit U_N cette suite, N étant le nombre de marche que doit gravir la grenouille.

Observons tout d'abord que pour arriver à la Nième marche, il n'y a que 2 possibilités : soit la grenouille vient de la marche N-2 en sautant 2 marches, soit elle vient de la marche N-1 en sautant une marche. Pour obtenir le nombre de manières d'arriver à la Nième marche,  il suffit donc d'additionner les nombres de manières d'arriver à la marche N-1 et N-2. Pour le dire autrement :
U_N = U_N-1 + U_N-2

Recensons à présent les premiers termes de la suite.

Au départ, nous avons : U₁ = 1 (il y a une seule manière de gravir une marche)
U₂ = 2 : soit la grenouille fait 1+1 marches, soit elle saute directement les 2 marches
U₃ = 3 : la grenouille peut sauter 1+1+1, ou 1+2 ou 2+1. Observons que nous avons bien U₃ = U₂ + U₁

Il est  facile désormais d'obtenir les autres termes de la suite.
U₄ = U₃ + U₂ = 3 + 2 = 5
U₅ = U₄ + U₃ = 5 + 3 = 8  (Hmm, ça sent la suite de Fibonacci, cette affaire... )
U₆ = U₅ + U₄ = 8 + 5 = 13
U₇ = 21
U₈ = 34
U₉ = 55
U₁₀ = 89
U₁₁ = 144
U₁₂ = 233
U₁₃ = 377
U₁₄ = 610
U₁₅ = 987
U₁₆ = 1597
U₁₇ = 2584
U₁₈ = 4181
U₁₉ = 6765
U₂₀ = 10946

Il y a donc  10 946 manières pour la grenouille de franchir les 20 marches.

Bonjour à tous (et toutes)

Soit la grenouille décide de faire uniquement des bonds de 2 marches. Elle fera 10 bonds, c'est une première possibilité.

Soit, elle fait 9 bonds de 2 marches et deux bonds de 1 marche, ce qui fait 11 bonds. Dans ce cas, elle peut faire ses bonds de 1 marche quand elle veut. Pour savoir combien de posibilités compte ce cas, il faut savoir la répartition de deux bonds (de 1 marche) parmi 11 bonds.
C'est exactement le meme problème que:
Combien existe-il de possibilités de tirer 11 boules sachant que 2 sont rouges et 9 sont bleues. on a C(2,11) possibilités
donc si la grenouille fait 9 bonds de 2 marches et deux bonds de 1 marche, il y a C(2,11) possibilités.

si elle fait 8 bonds de 2 marches et 4 bonds de 1 marche, ce qui fait 12 bonds, avec le meme raisonemment, on sait qu'il y a C(4,12) possibilités.

ainsi de suite, jusqu'au cas ou elle fait 20 bonds d'1 marche, ce qui fait cette fois C(20,20) possibilités

en tout, il existe alors N possibilités:
N=C(0,10)+C(2,11)+C(4,12)+C(6,13)+C(8,14)+C(10,15)+C(12,16)+C(14,17)+C(16,1)+C(18,19)+C(20,20)
N=1+55+495+1716+3003+3003+1820+680+153+19+1

N=10946 possibilités

en espérant ne pas m'etre trompé dans les calculs
Merci

Salut,
il y a 11 solution
@+

Salut,

La grenouille peut monter:
- 10 fois 2 marches par 2 marches => 1 possibilité
- 9 fois 2 par 2 et 2 fois 1 par 1 => 55 possibilités
- 8 fois 2 par 2 et 4 fois 1 par 1 => 495 possibilités
- 7 fois 2 par 2 et 6 fois 1 par 1 => 1716 possibilités
- 6 fois 2 par 2 et 8 fois 1 par 1 => 3003 possibilités
- 5 fois 2 par 2 et 10 fois 1 par 1 => 3003 possibilités
- 4 fois 2 par 2 et 12 fois 1 par 1 => 1820 possibilités
- 3 fois 2 par 2 et 14 fois 1 par 1 => 680 possibilités
- 2 fois 2 par 2 et 16 fois 1 par 1 => 153 possibilités
- 1 fois 2 par 2 et 18 fois 1 par 1 => 19 possibilités
- 0 fois 2 par 2 et 20 fois 1 par 1 => 1 possibilité
Ca donne en tout : 10946 possibilités différentes...

J'espère que je ne sens pas trop le poisson, merci pour l'énigme

Pookette

soit elle fait
aucun saut double : il y a 1 possibilité.
un saut double et 18 saut simples : il y a 19 possibilités de placer le double saut

2 sauts doubles et 16 saut simples : il y a possibilités de placer le double saut

3 sauts doubles et 14 sauts simples : il y a possibilités de placer les doubles sauts

      .
      .
      .

10 sauts doubles : il y a 1 possibilité :  

au total il y a la somme de tous ces evennements: ce qui donne 12661 possibilités

peut etre faux au calcul?

je dirais 11 solutions possibles

Il y a 11 solutions possibles pour gravir l'escalier (sans compter l'ordre dans lequelle elle peut utiliser chaque solution)

0 x 2 marches + 20 x 1 marche
1 x 2 marches + 18 x 1 marche
2 x 2 marches + 16 x 1 marche
3 x 2 marches + 14 x 1 marche
4 x 2 marches + 12 x 1 marche
5 x 2 marches + 10 x 1 marche
6 x 2 marches + 8 x 1 marche
7 x 2 marches + 6 x 1 marche
8 x 2 marches + 4 x 1 marche
9 x 2 marches + 2 x 1 marche
10 x 2 marches + 0 x 1 marche

coucou
cé mon premié challenge
ma reponse est 11
a +++++

heu
suite de fibonacci premier terme U1=1 et U2=2
U20= heuuuuu zut c est long a calculer 46368 OUF

10

il y a 11 solutions.

Bonsoir,
11.

20=a.1+b.2

Sol:de forme (a,b)
(0,10,(2,9),(4,8),...(20,0) soit onze couples.

Merci à tous de votre participation.

N2 N1 T Fact N2 Fact n1 Fact t Poss
0 20 20 1 2,43E+018 2,43E+018 1
1 18 19 1 6,40E+015 1,22E+017 19
2 16 18 2 20922789888000 6,40E+015 153
3 14 17 6 87178291200 355687428096000 680
4 12 16 24 479001600 20922789888000 1820
5 10 15 120 3628800 1307674368000 3003
6 8 14 720 40320 87178291200 3003
7 6 13 5040 720 6227020800 1716
8 4 12 40320 24 479001600 495
9 2 11 362880 2 39916800 55
10 0 10 3628800 1 3628800 1
10946

Taratata !!! Méthode de borneo ? Pas du tout... Pour une fois, je n'ai pas pris la solution "bourrin". J'ai redécouvert au passage les factorielles. Je me suis servie d'excel pour vérifier, car les factorielles, ça se simplifie bien, et il ne reste pas grand-chose à calculer, finalement.

ps si quelqu'un peut m'expliquer comment recopier une feuille de calcul sans que tout se mélange, ça m'intéresse.

Comme ça ? J'ai copié dans paintbrush, mais il y a sûrement mieux...

Pas de méprise, bornéo

L'utilisation d'excel ne signifie pas nécessairement méthode "bourrin"

Avant de faire travailler ton tableur préféré, il faut lui dire quoi faire... et c'est qqfois le plus difficile.

Pour ce pb, l'utilisation du tableur était très rapide (cf.10:47) :
2 lignes initialisées,
1 ligne de "formule" (grand mot pour C2+C3),
un dragage et c'est tout.

Il pouvait être résolu par un tout jeune qui ne connaissait pas les factorielles.

Philoux

Tout à fait d'accord. La vraie méthode "bourrin" aurait été de compter toutes les possibilités. Je suis une inconditionnelle d'excel, parce que justement, le fait d'attraper la petite poignée pour recopier une formule presque à l'infini m'émerveille. Quand la 1e formule est mauvaise (comme dans les étoiles), c'est la cata.
Excel m'épate d'autant plus que j'ai débuté sur un truc appelé Multiplan, et qui ne faisait rien de tout ça, et pour qui il fallait écrire soi-même des macros qui ne marchaient pas toujours...

Très belle énigme, en tout cas

Je suis d'accord avec toi

avec Excel, la drague est très efficace

Philoux

Pour une fois, je vous accorde que pour le calcul de la suite de Fibonacci, Excel ou tout autre tableur doté d'une poignée de recopie, est l'outil le plus efficace!

10946 je croie lol

mais si on a faux au calcul et bon au raisonnement, on mérite vraiment un poisson? pour faute de tape sur la calculette?

   >posté par : Redman
   >
   >mais si on a faux au calcul et bon au raisonnement,
   >on mérite vraiment un poisson? pour faute de tape sur la calculette?

t'en fait pas Redman, t'es pas le premier à qui c'est arrivé. Combien de fois ai-je été vert en voyant que j'avais la bonne méthode, mais qu'une erreur de calcul s'était glissée.
mais sur l'ile, on ne peut pas se permettre de mettre un smiley pour un bon raisonnement. c'est pas comme en cours ou on peut avoir une bonne note avec un resultat faux....
et puis certain diraient:
  Imagine que tu construise un pont et qu'on se base sur tes resultats, mais tu as fait une erreur de calcul. Le pont tombe et c'est la catastrophe... On se tourne vers toi.... dirais tu " Oui, mais la méthode était juste!!."

enfin bref.
je te souhaite une bonne continuation dans les prochaines énigmes...

La solution par fibonacci est la plus elegantes. Mais concernant les combinaisons, j'ai trouvé que l'on peut faire uniquement le cacul pour un nombre pair de rebonds et le doubler . Pourquoi ? 5473×2=10946
1+495+3003+1820+153+1=5473
C'est vrai egalement pour un escalier de 30 marches
Je n'ai pas trouvé dans le raisonnement ou la formulation des combinaisons.