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Challenge n°121**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
23-10-05 à 18:58

Bonsoir, nouvelle énigme pour vous :

Soit C1 et C2, deux cercles sécants (non tangents), dont les deux points d'intersection sont nommés A et B. C1 est un cercle de centre O et de rayon 2, et C2 est un cercle de centre O' et de rayon 4. On nomme d la distance OO'. Quelle valeur exacte de d doit-on prendre pour obtenir une surface maximale de OAO'B ?

Bonne chance à tous

Posté par
caylus
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 19:32

perduBonsoir,

si OAO'B signifie le quadrilatère OAO'B alors
3$ \fbox{d=2.\sqrt{3}}

Challenge n°121

Posté par sof (invité)re : Challenge n°121** 23-10-05 à 19:53

d=4

Posté par
borneo
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 20:25

gagnéAaaaargh Sof m'a grillée...
Pour avoir l'aire maximale, il faut que OAO' soit un angle droit. Donc avec pythagore OO' = 20
c'est à dire d= 25

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 20:31

gagnéLe quadrilatère OAO'B est constitué de 2 triangles éguax (OAO' et OBO') dont l'aire est donnée par la formule de Héron:
Il faut donc rendre maximum  S2 = [(6+d)/2] [(6+d)/2 - 2] [(6+d)/2 - 4] [(6+d)/2 -d]
Soit S2 =(1/16)*(36-d2)(d2-4)
La dérivée de cette fonction s'annule pour d =20.
L'aire du quadrilatère OAO'B est donc maximale et égale à 4 pour d =20 4,47.
Nota : on notera que pour cette valeur OA (resp. OB) est perpendiculaire à O'A (resp. O'B).

Posté par
piepalm
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 21:06

gagnéL'aire de OAO'B est S=RR'sin(OAO')  qui est maximum  si les cercles sont orthogonaux auquel cas d^2=R^2+R'^2, d^2=4+16=20
d=V20=2V5=4,472 si V est la notation de la racine carrée

Posté par
jugo
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 21:14

gagnéSi je note h la hauteur du triangle OAO' issue de O :
L'aire de OAO' vaut alors 4h/2 et l'aire de OAO'B le double, soit 4.h

Il faut donc maximiser h, ce qui se produit quand l'angle OAO' est droit.
Alors, h=2 et d2 = 22 + 42 = 20 soit d = √20

Sinon, on peut calculer l'aire de OAO'B en fonction de d :
√(10d2-d4/4-36)

L'aire est maximale quand sa dérivée par rapport à d s'annule, soit pour d = √20,
ce qui donne des angles droits en A et B et une aire de 8.

Réponse : d = √20



Challenge n°121

Posté par levrainico (invité)re: Challenge n°121 23-10-05 à 21:27

gagnébonjour,
A est le symmétrique de B par rapport à (OO'), ainsi, l'aire du triangle OO'A égale l'aire du triangle OO'B. Donc aire(OAO'B) = 2 * aire(OO'A)
Alors, trouver d pour que l'aire OAO'B soit maximale revient à trouver d pour que l'aire du triangle OO'A soit maximale

Si on note H le projeté de O sur (AO') et h la distance OH   (voir dessin)
Aire (OO'A)=4*h/2
si on veut trouver l'aire maximale, cela revient de nouveau à trouver d tel que h soit maximal
h sera maximal si le point A est en H.  ainsi, h=OA=2

si A est en H, alors le triangle OO'A est rectangle en A
ainsi,   d²=4²+2²
=> d=racine(20)
d=2*racine(5)

re: Challenge n°121

Posté par zackary0 (invité)re : Challenge n°121** 23-10-05 à 21:53

gagnéL'aire 5$(S) de 5$OAO'B=\frac{AB\times d}{2};
5$AB=8sin\alpha;
5$4=16+d^2-8dcos\alpha
5$cos\alpha=\frac{d^2+12}{8d}
Alors 5$Sin^2\alpha=\frac{40d^2-d^4-144}{64d^2}
5$\Longrightarrow S^2=40d^2-d^4-144
En annulant la dérivée 5$S^2,on trouve : 5$\red\fbox{d=\sqrt{20}}

Challenge n°121

Posté par
manpower
re : Challenge n°121** 23-10-05 à 22:34

gagnéBonsoir,

Le problème est assez semblable au Challenge n°121.
On peut invoquer la trigo ou même faire bourrin (d² est le maximum du polynôme -x²+40x-144)...
Je propose une autre solution.

Le quadrilatère OAO'B est un cerf-volant (nom officiel de cette figure fraîchement apparue cette année dans les programmes).
Parfaitement symétrique par rapport à sa diagonale [OO'], son aire vaut deux fois celle du triangle OAO'.
Reste à maximiser cette aire sous les contraintes OA=2 et O'A=4.
En considérant [OA] fixé, l'aire du triangle OAO' vaut OA\timesh où h est la hauteur issue de O'.
Or cette hauteur comprise entre 0 et 4 est maximale si et seulement si h=AO'=4. Au passage, cette aire vaut 8.
L'aire maximale est donc atteinte si et seulement si le triangle OAO' est rectangle en A.
Reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OAO' rectangle en A: OO'²=OA²+AO'²=2²+4²=20. D'où OO'=sqrt{20}

Conclusion: 3$ \rm \red d=sqrt{20}

Merci, puisea, pour cette avalanche d'énigmes.

Challenge n°121

Posté par goupi1 (invité)rép challenge 121 23-10-05 à 23:15

gagnéOO'=2sqrt5

Posté par
jacques1313
re : Challenge n°121** 24-10-05 à 05:43

gagnéJ'ajoute à la figure le système d'axes (O,\vec {i},\vec {j}) direct, où \vec i = \frac{\vec{OO'}}{OO'}.

On a alors C1 : x^{2}+y^{2}=4 et C2 : (x-d)^{2}+y^{2}=16.
Je vais considérer le point d'intersection (x, y) des eux cercles qui se trouve dans le premier quadrant (qui a donc ses coordonnées positives).
Alors l'aire de OAO'B vaut : A = d×y.
Avec, après calculs, y=\frac{\sqrt{(d^{2}-4)(36-d^{2})}}{2d}.
Je vais chercher quand la dérivée de l'expression qui se trouve dans la racine s'annule :
\[(d^{2}-4)(36-d^{2})\]'=2d(36-d^{2})-2d(d^{2}-4)= 2d(40-2d^{2}).
On a d compris entre 2 et 6, donc le maximum est atteint pour d^{2}=20, c'est-à-dire d=2\sqrt{5}.

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°121** 24-10-05 à 10:53

gagnéBonjour,

Réponse proposée : d=2V5 = racine(20) qui fournit une surface maximale de valeur 8 unités d'aire

Merci pour cette jolie énigme,

Philoux

Challenge n°121

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°121** 24-10-05 à 11:06

gagnéla courbe S(d), pour confirmation

Philoux

Challenge n°121

Posté par jams (invité)re : Challenge n°121** 24-10-05 à 11:57

gagnéSauf erreur de calcul (dont je suis un spécialiste) je trouve d=20 = 25

Posté par olive (invité)re : Challenge n°121** 24-10-05 à 14:17

la valeur exacte de d est racine carrée de 20.

Il suffit d'avoir OA perpendiculaire à O'A.Je crois que Puisea aime bien les perpendiculaires ...

Posté par astroximinus (invité)re : Challenge n°121** 24-10-05 à 22:18

gagnéSalut,

  Je trouve après m'etre battu avec une derivee enorme, OO'=25.
Merci pour l'énigme.

Posté par
lizoo
re : Challenge n°121** 24-10-05 à 22:35

perdupour avoir une surface maximale de OAO'B, la distance d doit etre égale à (4 racine de 3) sur 3
d= (4V3)/3

je ne sais pas comment faire p mettre un radical...
:s

Posté par hervé (invité)re : Challenge n°121** 26-10-05 à 08:43

gagnéracine carrée de 20

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°121** 26-10-05 à 12:58

Merci à tous de votre participation à cette énigme

Posté par
borneo
re : Challenge n°121** 27-10-05 à 00:34

gagnéMerci pour la révision de trigo, ça ne peut pas faire de mal...

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 11:52:05.


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