22500 m

Le théorème de Ménélaüs donne immédiatement l'équation (de degré 3) cherchée.

Soit J la position de Jean, M celle de Mika et L celle de Mickaël:
en appliquant le théorème de Céva, on sait que AM, KL et CJ sont concourants si
(JA/JK)*(KM/KC)*(LC/LA)=1
On peut bien sûr résoudre l'équation du 3ème degré que l'on obtient, mais en remarquant qu'en multipliant les distances par 4/3 on obtient 50, 80 et 57 et que 20*50*27=30^3
On en déduit que la solution est 30*3/4=22,5 km soit 22500 m

Soit P la position du palmier et A', K' et C' la position des coureurs
P est le barycentre de (A,a), (K,k) et (C,c)

a.AA'=k.A'K
a.AC'=c.C'C
k.KK'=c.CK'

==>a=k.A'K/AA'=c.C'C/AC'
==>c/k=A'K.AC'/(AA'.CC')=KK'/CK'

==>A'K.AC'.CK'=AA'.CC'*KK'
==>d*d*d=(AC-d)*(AK-d)*(KC-d)
solution de cette équation d=22.5km=22 500 m

En utilisant les barycentres et leur associativité je suis arrivé à une équation du 3ème degré  et je trouve une distance de 22,5 km soit 22 500 métres
Alors peut-être que je me suis trompé dans mes calculs car on demandait une réponse arrondie au métre alors qu'une précision au 10éme de km suffisait.
En tous cas j'ai vérifier géométriquement avec cabri-géométre et ça semble très proche de 22,5 km.!!!

Cette distance vaut

Pour y parvenir, si on nomme
les points où se trouvent respectivement, Mika, Jean et Michaël à 8h07,
la distance parcourue par chaque pilote

A1 est le barycentre de ou en normalisant les pondération pour avoir une somme égale à 1 :

A1 est le barycentre de
C1 est le barycentre de
K1 est le barycentre de

Le palmier matérialisé par le ponit étant sur la droite (AA1) peut être écrit comme barycentre de soit de c'est à dire de


En reproduisnat le raisonnement avec les droites (CC1) et (KK1) ,

G est barycentre de


Comme dans chcun des trois barycentres on s'est arangé pour avoir une somme dés pondérations égale à 1, on arrive à un système de 6 équations en égalant les pondérations de A, K et C dans chacune des expressions.
On résoud par exemple les trois premières égalités puis les trois suivantes en exprimant x,y et z en fonction de a. Cela conduit à chercher les racines d'un polynôme de degré 3 en a dont s'avère être racine (pas évidente)...

Merci pour cette belle énigme.

Bonsoir,

Pas de belle démonstration purement géométrique _{(via Al-Kashi ou autre formule dans un triangle ?)} pour moi car ça n'est pas venu.
J'ai donc opté pour la méthode bourrin : analytique (-beurk-).
Je me place dans un repère (A,,) (non orthogonal donc) tel que A(0;0) K(37,5;0) et C(0;42,75)
En notant M,N,O les pieds des segments partant respectivement des sommets A,K et C et avec x=d, on a:


   ( avec puis )
                              (pour palier le problème de calcul de distance, le repère n'étant pas o.n.)
On obtient alors facilement les trois équations de droite suivantes :
(AM) :
(KN) :
(CO) :

Le problème revient ainsi à trouver d tel que les trois droites soient concourantes.
Le discriminant du système composées des deux dernières vaut
,
puis les deux droites sont sécantes selon un point P vérifiant :
)  (Cramer)
Ensuite, les droites sont concourantes si ce point P appartient à la troisième... ce qui conduit à l'équation suivante :
)
Plutôt moche... mais bon, après tripatouillages cette équation s'écrit :


La résolution de cette équation conduit à deux solutions complexes (conjuguées) et une solution réelle d=22,5. Ouf !

Conclusion: La distance commune, parcourue par chaque coureur, est (ou 22km et 500m "au mètre près").

_{Bon, la méthode n'est absolument pas élégante et le résultat tombe "juste" (enfin, je n'ai pas eu besoin d'arrondir au mètre près).
Du coup, j'espère ne pas avoir commis d'erreur dans ces horribles équations...}

PS: Pas mal la présence des heures, du coup la course est sans fin car ils roulent tous à la même vitesse !! (environ 192,86 km/h)

Merci pour l'énigme.

On appelle P le palmier... (On aurait pu l'appeller Médor, mais c'est plus long)
P est un barycentre de (A,a) (K,b) (C,c), avec a+b+c différent de 0.
Si M1, M2 et M3 sont les positions des trois coureurs (M1 sur (AK), M2 sur (KC) et M3 sur (AC)...), alors :
M1, P et C sont alignés donc M1 est le barycentre de (A,a) et (K,b).
M2 est de même le barycentre de (K,b) et (C,c), et M3 est le barycentre de (C,c) et (A,a).
Alors : AM1=b/(a+b)AK, KM2=c/(b+c)KC et CM3=a/(a+c)AC
Si la distance parcourue par les coureurs est la même, on en déduit AM1=KM2=CM3.
On décompose tout ca en un système de trois équations (d'ailleurs p'têt même que deux auraient suffit...) du genre b/(a+b)AK=c/(b+c)KC et c/(b+c)KC=a/(a+c)AC et b/(a+b)AK=a/(a+c)AC. On remplace AK, KC et CA par 37,5 60 et 42,75, on mouline très fort, et on sort par exemple a et b en fonction de c. reste à fixer une valeur à c, à donner celle de a et b, puis à remplacer dans AM1, ou KM2, ou même CM3 puisque toutes ces longueurs sont supposées être égales, et à donner

AM1=KM2=CM3=22,5 km,

soit 22 500 m, ce qui en 7 min nous fait une moyenne de 168,75 km/h, soit 6 points de permis en moins (on rappelle que le désert est limité à 60 km/h...)
En principe, c'est là qu'on se prend un poisson, non ?

Heu, tant que j'y suis et après avoir refait les calculs, je pense qu'il doit me manquer une p'tite soixantaine de mètres. Ca doit plutôt faire dans les 22 560 m...

Grâce au theoreme de Céva, je trouve rapidement 22 km 500 m

j'ai calculé une longueur parcouru de 22km et 500 mètres (arrondi au mètre le plus proche).

Bonjour!

Comme ce n'est pas demandé de démonstration et qu'à cause d'un exam très proche,je n'ai pas le temps de bien la rédiger, voilà juste ma réponse:

22,5 kms

Je reviendrai mettre la démo si l'énigme n'est pas cloturée avant samedi soir....

Voilà voilà

Je réponds tout de suite, j'explique peut-être ensuite : 22,5 km exactement, soit 22.500 m.

La réponse arrondie au mètre le plus proche ... là il y a de l'abus, car il n'y a rien eu à arrondir et on aurait pu le faire sur du papier quadrillé.

Bref, avec la précision demandée, il a bien fallu passer par le calcul. J'ai mis ça sur un repère orthonormé, j'ai calculé les coordonnées des points intéressants en fonction de x, la distance parcourue. Puis je cherche les équations des trois droites, et les coordonnées de leurs intersections qui forment un triangle plus ou moins grand. Et puis je cherche à ce que les droites soient concourrantes, ce qui se réalise pour une distance parcourue de 22,500 km ou 22500 mètres.

Je peux aussi vous donner les coordonnées du palmier.... Finalement les fonctions affines, ça sert dans la vie.
Merci pour l'énigme.

je trouve 21.613 km.
A+

bonjour ,

j'y ai passe du temps , c'est peut etre faux . j'ai utilise une methode analytique qui me donne des formes en puissance 4 au moins et j'ai essaye de m'en sortir avec une methode graphique pour encadrer une valeur puis avec un maketable sur Maple


la distance parcourue depuis le depart est de 22500 metres


merci pour cette enigme interessante pour les differentes methodes de calcul que j'ai utilise

a plus tard

Paulo

Bonjour
Je propose 22,500 km soit 22 500 m comme réponse à votre question
Merci pour l'énigme !!

Réponse proposée :

Méthode proposée :



On considère le repère d'origine au point , alors les coordonnées de :
sont et
sont et
sont et
Soient , et les points opposés à , et .
Soit la distance , alors (l'énoncé de l'énigme).
Les coordonnées de :
sont et
sont et
sont et
En cherchant l'équation des droites et et on trouve le point de rencontre de ces trois droites.
Ce qui impose à , la valeur d'environ

Merci à tous pour votre participation à cette énigme !
La bonne réponse était 22 500 mètres  (et oui... il n'était pas nécessaire d'arrondir, mais bon, on vous embourille comme on peu )

bonjour,

je vois le resultat ce matin.

pourquoi ne pas avoir appele une ville MENELAIUS


cela aurait ete plus joli

merci encore
salutations du dimanche matin

Paulo

Bonjour

Eh bien trop tard !

je n'avais pas le net hier et n'ai pu poster

Comme j'ai rédigé je poste le dessin

résolu par excel et valeur cible car pas vu autrement par al-kashi...

Bon dimanche !

Philoux

Le théorème de Menelaus donne la la condition pour que trois points sur chacun des cotés d'un triangle soient alignés... Ici c'est le théorème de Ceva, qui est son dual, qu'il faut appliquer.
Il y avait une jolie solution arithmétique, basée sur le fait que 30^3=20*27*50 soit
30^3=(50-30)*(57-30)*(80-30) , et en multipliant par 3/4 on retrouve les distances de l'énoncé

Comment passer à côté des céviennes de cette énigme ?
Je me le demande encore et ne me le pardonnerai jamais !
Céva, pardon !
Jolie astuce pour ta solution piepalm

QUELLE EST LA NATURE DU QUADRILATERE EFBG