Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 3 *
Partager :

Challenge n°179 : cartes***

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
04-05-06 à 17:40

Bonjour à tous, nouvelle énigme :

On dispose d'un paquet de X cartes blanches numérotées de 1 à X. La carte 1 étant au dessous du paquet, la carte X sur au dessus (empilées dans l'ordre de 1 a X). On prend la carte du dessus, et on la place en dessous, puis on reprend une carte au dessus que l'on supprime du paquet. On répète cette opération jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une carte. Cette carte porte le numéro 2006, quelle est la plus petite valeur de X ?

Bonne chance à tous !

Posté par mathilde- (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 18:25

perduje ne sais pas

Posté par
kiko21
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 18:26

gagnéBonjour,

Ma réponse est X = 2090
car (2090+2006)/2 = 2048 = 211
première puissance de 2 supérieure à 2006

Merci et à bientôt, KiKo21.

Posté par
caylus
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 19:52

gagnéBonjour,

La plus petite valeur de X est 3$\fbox{2090}.
(deux mille nonante )

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 20:21

gagnéLa plus petite valeur de X est 2090.

Posté par
Youpi
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 20:47

gagnéJe trouve avec presque aucun calcul que la plus petite valeur possible pour X est 3$ \blue \fbox{2090}

en effet si le nombre X vaut 2^n alors la dernière carte restante est la carte portant le numéro X=2^n
si X\in[2^n;2^{n+1}[  alors il existe un entier naturel k tel que X=2^n+k et la dernière carte tirée portera le numéro 2^n-k

Dans le cas présent il fallait prendre 2^{11}=2048 et comme 2006=2048-42 alors on en déduisait que X=2048+42=2090.

Posté par
geo3
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 20:59

gagnéBonsoir
La plus valeur de X est 3$\red{2090}
A+

Posté par
jacques1313
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 21:09

perduJe trouve X minimal égal à 2549.

Posté par
vince909
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 21:27

gagnéBonjour,

Je trouve que la plus petite valeur de X est 2090.

Merci pour l'énigme !

Posté par
evariste
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 21:47

gagnéX=2090

Posté par
borneo
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 22:41

gagnéBonsoir, après avoir fait plein d'essais avec des fausses cartes, je remarque que si x est une puissance de 2, alors la derniere carte sera x, puis x-1, x-2 etc...

donc quand la derniere carte est 2006, la plus petite valeur de x est 2090

merci pour l'énigme

Posté par
kimented
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 23:32

perduBonjour,
Merci pour cette enigme qui demande un minimum de réflexion.
Je ne sais pas si il y a une méthode purement mathématique, j'ai utilisé une méthode par programation (simulation du déplacement des cartes avec une suite de valeurs)

Le programme:
*****************
<?
$n=2006; //nombre de cartes minimum (numero recherché)
$n3=$n;  //pour conserver la valeur $n
while(!$stop){ //répeter tant que la valeur recherchée n'est pas atteinte
$n2=$n3;
$i=1;
while($i<=$n){//determination de la place de chaque carte au début
$carte[$i]=$n2;// soit $carte[$i] la position à l'instant précis de la carte de valeur $i
              // à partir du dessus du paquet
$n2--;
$i++;
}
$nlive=$n; //nombre de cartes
$pastact="del";//pour que la première carte soit mise sous le paquet
while($nlive>=1){
while(list($key,$val) = each($carte)){ //cette boucle s'execute jusqu'à ce que le paquet soit revenu dans l'ordre initial
if($pastact=="del"){ //si la carte precedente a ete supprimee
    //echo"pass $carte[$key]<br>";  //pour verification du programme uniquement
    $pastact="";  //signaler que la carte n'a pas ete supprimee
}
else{ //si la carte precedente n'a pas été supprimée
    //echo"sup $carte[$key]<br>";   //pour verification du programme uniquement
    unset($carte[$key]); //supprimer la carte
    $nlive--; //decompte d'une carte
    $pastact="del";  //signaler la suppression
}
$val2=$val; //pour que la valeur de la dernière carte ne soit pas effacée lors de la prochaine boucle
}
reset($carte); //remise à 0 du pointeur, pour pouvoir repasser la boucle
}
echo "si x=$n3, dernière carte: $val2<br>"; //verifier la dernière carte ici
if($val2==$n){$stop=1;} //stopper la boucle si on trouve la valeur recherchée
else{$n3++;}
}
echo"solution: $n3" //affichage de la solution
?>
******************

j'ai fais quelques essais avec de petits nombres et une simulation sur papier, pour vérifier le programme.

La valeur de x de facon que la dernière carte soit la numéro 2006 est 3970

extrait:
"si x=3968, dernière carte: 2004
si x=3969, dernière carte: 2005
si x=3970, dernière carte: 2006
solution: 3970"

Je n'ai pas vérifié cette valeur manuellement bien entendu

Posté par
jacques1313
re : Challenge n°179 : cartes*** 04-05-06 à 23:40

perduBon, j'ai réussi à me planter bêtement dans mon programme, la réponse est 2090.

Posté par hervé (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 06:13

gagnéBonjour.
Après quelques essais, je remarque que la valeur X du nombre de cartes + la valeur de la carte finale est une puissance de 2.
Je propose donc comme solution X = 2090.  (2090 + 2006 = 4096)
A+

Posté par celinenounours (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 09:47

gagnéX=2090

Il me semble que ça fonctionne mais mon aproche est expérimentale. Comment fallait-il poser le problème pour le résoudre mathématiquement ?

Posté par
chaudrack
Cartes 05-05-06 à 11:54

gagnéBonjour, et merci encore pour l'énigme.

Ma réponse est 2090! Explications ce soir quand je ne serais plus au boulot!

Merci!

Posté par
fiston
Cartes 05-05-06 à 14:48

gagnéBonjour!

Contrairement aux apparences, je n'ai pas trouvé cette énigme trop difficile
Avec des cartes j'ai effectué l'experience rapidement avec les valeurs de 2 à 10
J'ai eu ces resultatsD=derniere carte)
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D 2 1 4 3 2 1 8 7 6  5

J'ai vu qu'on avait comme résultat pour chaque puissance de 2 le nombre X et que les valeurs de X suivantes donnaient des valeurs de D QUI Dédroissaient de 1 à chaque niveau
Or la pluis petite puissance de 2 apres 2006 est 2^11=2048
2048-2006=42
2048+42=2090

J'EN CONCLUS QUE LA PLUS PETITE VALEUR POSSIBLE POUR X EST 2090.

A la prochaine énigme

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 17:10

gagnéBonjour

Réponse : 2090 = 2^11+(2^11-2006) = 2^(2+E(ln(2006)/ln2)-2006

Méthode :
En remarquant que toute pile dont la carte supérieure est S=2^n+p fournit la carte finale F=2^n-p

Supérieure = 2^n + p <=> Finale = 2^n - p

comme 2^10 < 2006 < 2^11 => p=2^11-F=2048-2006=42 => S=2^11+p=2048+42=2090

Sauf erreur de raisonnement,

Merci pour l'énigme,

Philoux

On peut donc répondre, pour n'importe quelle carte (hors puissance de 2), qu'il faut Y cartes, avec Y = 2^(2+E(ln(X)/ln2)-X, pour voir apparaître la carte X en dernière carte.

Sauf erreur (avec des puissances de 2, le 2 de la somme devient 1)

Posté par Tournesol (invité)Challenge n°179 05-05-06 à 17:25

2090

Posté par
masterfab2
re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 17:39

gagné2090

Posté par savoie (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 19:01

gagnéBonjour,

Pour que la carte 2006 soit la dernière, il faut que X soit pair : en effet au premier passage du paquet, cela permet d'écarter toutes les cartes impaires, et de conserver toutes les paires.

Après passage en revue du paquet une seconde fois, par le même raisonnement, nous devons conserver toutes les cartes paires non multiple de 4, et écarter les autres. Donc X est pair mais non multiple de 4.

Nous faisons donc la recherche sur les X membre de la suite 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26...

De façon empirique, on constate que :
Si X est membre de la suite 6, 10, 18, 34, … (obtenue en faisant 2 x le nombre précédent moins 2), alors la dernière carte a pour valeur X - 4. Soit U l'un des membres de cette suite. Cela revient à dire :
« si X = U, alors la dernière carte tirée a pour valeur U - 4. »

A nouveau de façon empirique on constate que :
X = U, dernière carte = U - 4.
X = U + 4, dernière carte = U - 8
X = U + 8, dernière carte = U - 12
X = U + 12, dernière carte = U - 16
X = U + 16, dernière carte = U - 20
Etc…

Nous devons donc rechercher d'abord le plus petit U supérieur à 2006, dernière carte du problème de Puisea.
La suite des U comporte les nombres 1026 puis 2050. Donc U = 2050.

Or : 2006 = 2050 - 44
Donc X = U + 44 - 4 = 2090.

Je propose : X = 2090.

Merci pour cette belle énigme.

Posté par
kimented
Encore une erreur... 05-05-06 à 19:08

perduLa réponse que j'ai donné précédament est fausse, car j'ai inversé deux fois des variables dans mon programme:

ligne 7: while($i<=$n3){//determination de la place de chaque carte au début
remplacement de $n par $n3

ligne 13: $nlive=$n3; //nombre de cartes
remplacement de n en n3

Le résultat ainsi obtenu est 2090
un mauvais départ pour ce mois de mai...

Posté par
jugo
re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 20:07

gagnéPour un tas comportant un nombre de carte égal à une puissance de 2, la carte restante est la première :
pour un tas de 1 carte, il reste la carte N°1
pour un tas de 2 carte, il reste la carte N°2
pour un tas de 4 carte, il reste la carte N°4  etc...

Pour 2048 cartes, il restera donc la carte N°2048.

Puis :
pour 2049 cartes, il restera la carte N°2047
pour 2050 cartes, il restera la carte N°2046 etc...

Pour qu'il reste la carte 2006, il faut donc au minimum X = 2048+42 = 2090


Valeur minimale de X pour que la carte restante porte le numéro 2006 :

X = 2090

Posté par
manpower
re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 20:53

gagnéBonsoir,

je ne suis pas franchement en avance sur ce coup...

Sauf erreur, on cherche deux entiers les plus petits possible n et m vérifiant 2^n-2m=2006 (où 2^{n-1}<2006<2^n et 2m<2^n).

En effet, tout nombre pair X de cartes, donc qui peut s'écrire sous la forme 2^n+2m (avec 2m<2^n),
conduit à une dernière carte numérotée 2^n-2m.

On trouve facilement n=11 puis m=21 (2006=2^{11}-2\times21), le nombre cherché est donc 2^{11}+2\times21=3$ \rm \red 2090.

( Le suivant est 2^{12}+2\times(2^{10}+21)=6186 etc... )

Merci pour l'énigme.

Posté par Torpedo (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 05-05-06 à 23:50

gagnéMa réponse : 5$\fbox{X = 2090}

Si on note f(X) le numéro de la derniere carte restante pour un tas de taille X, en raisonnant sur des tas de tailles 2X et 2X+1, on obtient la récurrence suivante pour la fonction f :

f(2X) = 2f(X)
f(2X+1) = 2f(X)-1

Bien sûr, f(1) = 1. On remarque de plus que l'on a toujours f(X)+X=2^N. Cela se vérifie pour de petites valeurs de X (f(1)+1=2, f(2)+2=4, f(3)+3=4, etc.) et ça se démontre à partir de la relation de récurrence sur f. Dans cette formule, 2^N est bien déterminé : c'est la plus petite puissance de 2 strictement supérieure à X.

Enfin, si on cherche à déterminer X connaissant f(X), on a une infinité de solutions, toutes de la forme 2^N-f(X), si cette valeur est supérieure à f(X). Pour f(X)=2006, toutes les valeurs de X suivantes conviennent : X=4096-2006, X=8192-2006, X=2^{14}-2006, X=2^{15}-2006, etc. La plus petite, X=2090 est solution de l'énigme.

A++

Posté par kath (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 06-05-06 à 10:12

perdu

  X = 2006

Posté par
disdrometre
re : Challenge n°179 : cartes*** 06-05-06 à 10:18

gagnébonjour puisea,

après avoir remarquer f(2^n) = 2^n

avec f l'application qui associe le numéro de la dernière carte à la taille du paquet de carte

et f(2^n + k) = 2^n -k pour k < 2^n

or 2006 = 2048 - 42

donc la plus petite valeur de X  est 2090

K.

Posté par kath (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 06-05-06 à 10:45

perdu  
BONJOUR LES GENS

désolé, dans ma précipitation j'ai oublié de dire bonjour
je m'en excuse auprès de tous.

bonne journée à vous

Posté par
chaudrack
Re moi 06-05-06 à 18:48

gagnéVous excuserez mon retard pour l'explication de ma réponse, mais comme le dit le proverbe, mieux vaut tard que jamais!

Je suis parti du principe suivant:

Pour les paquets de x cartes, tel que:

x=1 donne 1 soit 1+1=2
2x<4 On obtient a tel que x+a=4
4x<8 On obtient a tel que x+a=8
8x<16 On obtient a tel que x+a=16

etc, etc...

En effet, lors de la première boucle, en enlève la moitié des cartes (à 1 pres si x est impair)
Au tour suivant en enlève encore la moitié des cartes soit le quart de x.

etc, etc...

J'en ai déduit que pour obtenir 2006, il fallait que le total entre le nombre de cartes et 2006 soit un terme de la suite géométrique Un=Uo x n avec Uo = 1 et n=2

Ainsi, le terme le plus petit vérifiant cela étant 4096, le nombre de cartes a prendre était 4096-2006 soit 2090!

Je sais pas si mon hypothèse est démontrable, en tout cas cela me semble juste.

Je n'ai rien contre les programmateurs fous, mais l'avantage de mon raisonnement est une mise en application évidente. Car passionné de cartomagie, j'ai d'ores et déjà mille idées en tête pour trouver des tours où la carte perdue serait trouvée grace à cette méthode..

Merci encore pour l'énigme passionnante comme toujours

A bientôt

Posté par marie64 (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 08-05-06 à 12:13

perdula valeur la plus petite est 1

Posté par chrislauxerrois (invité)Cartes 09-05-06 à 00:09

gagnéBonjour, je trouve cette énigme très sympa.

J'ai fait l'expérience mais bien évidemment, je n'ai pas pu aller assez loin lol.

Donc bon, ma constatation est que si j'ai 2n+i cartes, ma carte finale est 2n-i, si i appartient à [0;2n+1-1].
Donc là, la carte finale est 2006 qui est 211-42, donc il me faut 211+42 cartes, soit 2090 cartes.

Merci pour cette énigme...

Posté par Delool (invité)re : Challenge n°179 : cartes*** 09-05-06 à 00:14

gagnéBonjour,

Etant donné qu'il est déjà 00:13, je n'ai pas essayé de finasser pour trouver une réponse.
J'ai essayé ce qu'on obtenait comme résultat pour X=1;2;...;9.
La dernière carte porte respectivement le numéro 1;2;1;4;3;2;1;8;7.

Et je me suis dit que ça devait être pareil pour la suite.
Ma réponse est donc X=2090.

Merci pour l'énigme.

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°179 : cartes*** 09-05-06 à 07:53

Merci à tous pour votre participation à cette énigme

Posté par
borneo
re : Challenge n°179 : cartes*** 09-05-06 à 11:20

gagnéTrès jolie énigme... je vois que je ne suis pas la seule à avoir pris la méthode expérimentale avec des vraies cartes (pourquoi blanches ?)
D'ailleurs après avoir manipulé les cartes et passé un temps fou à les retrier, j'ai fini par voir qu'on pouvait aussi le faire avec papier et crayon. Bravo à ceux qui l'ont fait par le calcul

Posté par
kiko21
re : Challenge n°179 : cartes*** 09-05-06 à 20:58

gagnéBonsoir,

j'étais déçu car je pensais avoir répondu le premier et Mathilde a surgit !!
1 petite minute perdue à me relire...

Quand j'ai vu la réponse de Mathilde, j'ai bien rigolé...

Au fait, méthode crayon et papier et récurrence.

A+, KiKo21.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 24:27:28.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !