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Challenge n°192 : loterie
Bonjour à tous, nouvelle énigme :
Le CSI (Conseil Supérieur de l'Ile) décide d'organiser une sorte de loterie à laquelle tous les mathîliens sont conviés.
Le jeu est le suivant : un joueur qui commence une partie paye 5€. Il tire deux boules au hasard dans un sac qui contient 2 boules noires et 4 boules jaunes indiscernables au toucher. Si le joueur a deux boules jaunes il perd sa mise, si le joueur a deux boules de couleurs différentes, le joueur reprend ses 5€, et enfin s'il a deux boules noirs il passe au jeu suivant.
Le jeu suivant consiste à faire tourner, de manière totalement aléatoire, une roue parfaitement équilibrée en dessous d'un curseur. Un huitième de la roue est peinte en noire, un quart en jaune, et le reste en rouge. Lorsque la roue s'arrête, si le curseur est au-dessus du noir, le joueur gagne 100€ (mise comprise), si le curseur est au-dessus du jaune, le joueur gagne 30€ (mise comprise), si le curseur est au-dessus du rouge, le joueur reprend ses 5€.
Bien que vous sachiez que vos chances de faire des bénéfices sont faibles, vous décidez de jouer tout de même, car vous savez que les profits faits à la suite de ce jeu par le CSI permettront le financement de nombreux projets sur l'île.
Sachant que lors de la durée de l'organisation du jeu, 20000 parties ont eu lieu, quelle est (d'un point de vue probabiliste) le montant des bénéfices engrangés par le CSI ? Votre réponse sera arrondie au centime près.
Bonne chance à tous.
le joueur gagne 30€ (mise comprise)
Cela signifie pour moi que le joueur gagne 30€ au total (on lui donne 30€ et on lui redonne sa mise).
Calculons l'espérance des gains du CSI au 2° jeu :
L'espérance de gain total sur une partie est donc :
Sur 20 000 parties, l'espérance des bénéfices du CSI sera de
Dans le cas où ma supposition de départ est fausse, je trouve
15833,33
Moyennes pour 120 parties :
120*6/15 de deux boules jaunes : 48*5 = 240
120*8/15 de deux boules différentes : 64*0 = 0
secteur noir : 1*-95 = -95
secteur jaune : 2*-25 = -50
secteur rouge : 5*0 = 0
Bénéfice moyen en 120 parties : 95
Bénéfice probable : 95*20000/120 = 15833,33
On trouve facilement, qu'il y a une probabilité de 6/15 de tirer deux boules jaunes, 8/15 de tirer deux boules de couleurs différentes et 1/15 de tirer deux noires.
Par ailleurs, il y a une probabilité de 1/8 que le curseur s'arrête sur le noir, 1/2 sur le jaune et 5/8 sur le rouge.
Le joueur a donc :
- 6/15 de chances de perdre 5euros
- 8/15+(1/15)*(5/8) de faire une partie nulle
- (1/15)*(1/8) de gagner 100 euros (mise comprise)
- (1/15)*(1/4) de gagner 30 euros (mise comprise)
Mise comprise signifie, selon moi, qu'il s'agit d'un gain «net», c'est-à-dire que le joueur se verra rembourser sa mise de 5 euros en plus de son gain de 100 euros ou de 30 euros.
Pour le CSI, les gains et les pertes seront inversés par rapport à ceux du joueur.
Pour une partie, le bénéfice du CSI sera donc, d'un point de vue probabiliste :
b = (6/15)*5 -(1/15)*(1/8)*100 -(1/15)*(1/4)*30 = 2-5/6-1/2 = 4/6=2/3 euros.
Pour 20000 parties, les bénéfices du CSI seront de : B= 20000 * (2/3) = 13333,33 euros (arrondi au centime d'euros).
Bonjour,
Alors, tout d'abord j'ai fait un tableau avec les chances d'obtenir tel ou tel élément. Ensuite, je leur ai rattaché, ce que l'Île pourrait gagner(ou perdre) pour chaque cas...
Après, j'ai calculé(je crois...) l'espérance pour une seule partie. Que j'ai multiplié par les. Ce qui m'a donné :
qui à peu près égal à
centimes. (Car si je me souviens bien, vous européens, vous avez des pièces de 1 cent, nan? Bref, vive le CHF
)
Donc ma réponse est que le CSI engrangera une somme de euros(Comment écrit-on les signes sépéciaux en latex...?) et
cents.
En espérant pas avoir tapé trop à côté, je vous remercie pour ce challenge et vous souhaite des journées bonnes et ensoleillées 
Salut à tous !
Ma réponse est : 13 333,33 euros.
J'ai appelé X la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe le gain du CSI.
X = 5, 0, -30 ou -100
p(X=5) = 2/5
p(X=0) = 8/15 + 1/24 = 23/40
p(X=-30) = 1/60
p(X=-100) = 1/120
E(X) = 5*2/5 + 0*23/40 - 30*1/60 - 100*1/120 = 2/3
donc après 20 000 parties, le gain théorique du CSI est 20 000 * 2/3 = 13 333,33
En espérant ne pas m'être lamentablement plantée ...
Ma réponse est 24833.33€
en effet,
La probabilité de perdre est de 6/15 soit 48/120
La probabilité de reprendre son argent est de 8/15 + 1/15*5/8 soit 69/120
La probabilité de gagner 30 € est de 1/15*/8 soit 2/120
La probabilité de gagner 100 € est de 1/15*1/8 soit 1/120
Ainsi, proportionnellement, si 20000 candidats jouent, il y aura:
8000 perdants
11500 ni gagnant, ni perdant
333.33 gagnants à 30 €
166.66 gagnants à 100 €
Ainsi, 20000 candidats payent 5 € chacun soit une recette de 100.000 €
Le CSI reverse 5€ aux 11500 ni gagnants, ni perdants, soit 57500 €
Le CSI reverse 30€ aux 333.33 gagnants soit 1000 €
Le CSI reverse 100€ aux 166.66 gagnants soit 16666.67 €
Le CSI,enfin, ne reverse rien aux perdants:
Le bénéfice est donc de 100000 - 57500 - 1000 - 16666.67 soit 24833.33€
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
le montant des bénéfices engrangés par le CSI est de
Pour le tirage des boules, il y a 6 x 5 = 30 tirages possibles :
12 tirages de boules jaunes soit 2 chances sur 5 de perdre
16 tirages de boules de couleurs différentes soit 8 chances sur 15 d'être remboursé
2 tirages de boules noires soit 1 chance sur 15 de poursuivre vers la roue.
Pour la roue, il y a :
5 chances sur 8 d'être remboursé
1 chance sur quatre de toucher 30 euros
1 chance sur huit de toucher 100 euros
Ces trois probabilités sont à combiner avec celle de 1 chance sur 15 de jouer au second jeu.
Ce qui donne :
Pour conclure :
Sur 20 000 participants, 8 000 ont perdus, 11 500 ont été remboursés et 500 ont réellement gagné (1/3 95 euros et 2/3 25 euros)
On pouvait donc trouver le bénéfice en calculant 8000 x 5 - 500 x (95/3 + 25 x 2/3) = 15 833,33 euros
Merci et à bientôt, KiKo21.
Il n'y a qu'une chance sur 15 d'avoir les deux boules noires. 6 fois sur 15, le CSI gagne la mise de 5 euros; une fois sur 60 il devra payer 25 et une fois sur 120 payer 95, les autres cas étant neutre.
Le gain moyen pour 120 coups est donc 240-95-50=95 euros
Soit pour 20000 parties 20000*95/120=15833,33 euros (au centime le plus proche)
On calcule les probabilités respectives des issues possibles qui influencent le bénéfice final:
L'issue "2 Jaunes au jeu 1" fait gagner 5€ au CSI, et sa probabilité est de 2/5 ==> gain probable de 5*20000*2/5 = 40000€
L'issue "2 Noirs au jeu 1 et Noir au jeu 2" fait perdre 95€ au CSI, et sa probabilité est de 1/120 ==> perte probable de 95*20000*1/120 = 15833,33€
L'issue "2 Noirs au jeu 1 et Jaune au jeu 2" fait perdre 25€ au CSI, et probabilité est de 1/60 ==> perte probable de 8333,33€
En résumé: le bénéfice global probable du CSI est de 15833.33€
Salut à tous,
si j'ai bien compris, le CSI ne gagne de l'argent que lorsque les candidats tirent 2 boules Jaunes, soit dans 40% des cas (). Pour 20000 parties cela représente 20000*0.4*5€ = 40000€.
Le CSI devra donner de l'argent aux candidats qui tirent 2 boules Noires, soit dans 6,67% des cas ().
1 fois sur 8 il donne 100€ donc il devra donner : € = 16666,67 €.
2 fois sur 8 il donne 30€ donc il devra donner : € = 10000 €.
5 fois sur 8 il rend sa mise au joueur.
Au bout de 20000 parties il reste pour le CSI : 40000 - (16666,67 + 10000) = 13333,33€
@+
Bonjour,
"le joueur gagne 100€ (mise comprise)" => ce qui veut dire que le joueur ne gagne en fait que 95€
Calculs détaillés:
Chance d'avoir 2 boules jaunes: 4/6 * 3/5 = 6/15
Chance davoir 2 boules différentes: (4/6 * 2/5)+(2/6 * 4/5) = 8/15
Chance davoir 2 boules noires: 2/6 * 1/5 = 1/15
Chance d
Chance de gagner 100€: 1/15 * 1/8 = 1/120
Chance de gagner 30€: 1/4 * 1/15 = 2/120
Chance de reprendre ses 5€: 1/15 * 5/8 + 8/15 = 69/120
Chance de perdre sa mise: 6/15 = 48/120
Les bénéfices s'élèveront donc à:
20000 * 5 - (1/120) * 100 * 20000 - (2/120) * 30 * 20000 - (69/120) * 5 * 20000 = 15833,33€
Bonsoir,
l'île va devenir très riche...
En posant X la variable du gain (en euros) obtenu. On étudie la loi de probabilité P.
Au premier jeu,
Au second jeu, proportionnellement aux aires,
On en déduis alors la loi de probabilité discrète P suivante:
(inutile en fait)
(proba conditionnelle)
Reste à calculer l'espérance de gain,
Enfin, le bénéfice théorique pour 20000 parties vaut (arrondi au centime près).
Merci pour l'énigme.
PS: CSI? Capitalistes Sur Internet ? 
Bonjour,
J'ai résumé sur mon schéma les chances de gagner (ou pas) aux 2 jeux et le total des gains obtenu pour 20000 parties.
La mise totale étant de 100 000 € et le montant redistribué de 75 166,67 €,
les bénéfices engrangés par le CSI sont de 24 833,33 €.
Bonjour,
Voici ma proposition :
Sur le premier jeu, le joueur a :
6 chances sur 15 de tout perdre
8 chances sur 15 de récupérer sa mise, 5 €
1 chance sur 15 de passer au second jeu (et gagner 23.125 € en moyenne comme décrit ci-dessous)
Sur le second jeu, le joueur a :
1 chance sur 8 de repartir avec 100 €
2 chances sur 8 de repartir avec 30 €
5 chances sur 8 de repartir avec la mise, soit 5 €
Donc le joueur repart, en moyenne avec 23,125 €
Donc en faisant la moyenne pondérée des gains possibles du premier jeu, on obtient : un joueur repart en moyenne avec 4.21 € (calcul arrondi). Le CSI fait donc par partie un bénéfice moyen de 0.79 € (calcul arrondi).
Si 20 000 parties sont jouées (sans stratégie particulière de la part des joueurs pour optimiser le moment où ils s'arrêtent de rejouer….) le bénéfice du CSI est de 15 833.33 €.
Merci pour cette énigme.
Bonsoir,
20000 parties se déroulent de la façon suivante :
Premier jeu : (entre parenthèses, les bénéfices pour le CSI)
a) probabilité -> le joueur perd sa mise de 5 Euros (+5 Euros)
b) probabilité -> le joueur garde sa mise (Zero Euro)
c) probabilité -> le joueur passe au deuxième jeu
Deuxième jeu :
c1) probabilité -> le joueur reçoit 100 Euros (-95 Euros)
c2) probabilité -> le joueur reçoit 30 Euros (-25 Euros)
c3) probabilité -> le joueur garde sa mise (Zero Euro)
Finalement l'espérance de gain pour le CSI sur une partie est de :
et sur 20000 parties, cela donne une espérance de gain pour le CSI de 15833.33 Euros (arrondie au centime près)
(J'ai interprété la phrase "le joueur gagne 100 Euros (mise comprise)" par : le joueur reçoit 100 Euros = 95 Euros + sa mise de 5 Euros (...comprise dans les 100 Euros). A mon opinion cette formulation n'est pas très claire mais il faut bien faire un choix)
A++
Probabilité de tirer 2 jaunes : 4/6 x 3/5 = 12/30 : gain=0€
Probabilité de tirer 2 noires : 2/6 x 1/5 = 2/30 : accès jeu 2
Probabilité de tirer 2 couleurs : 16/30 : gain=5€
Jeu 2 :
Probabilité Noir depuis le début 2/30x1/8 gain=100€
Probabilité Jaune : 2/30x1/4 gain=30€
Probabilité Rouge : 2/30x5/8 gain=5€
On obtient donc un gain moyen de 101/24 €
Sur 20000 parties le CSI touche 100000€ et reverse 20000x101/24 soit 84166,67
Le bénéfice est donc de 15833,33€
Bonjour, je trouve que le montant des bénéfices engrangés par le CSI pour 20000 parties est de 15833,33€.
Merci pour l'énigme ^^
bonjour
le CSI a gagné 13 333,33 euros
Soit G le gain algébrique du CSI ; G prend les valeurs 5, 0, -30 et -100
avec des probabilités de :
2/5 ; 23/40 ; 1/60 et 1/120.
Son espérance est de 2/3 soit un gain espéré de 13333,33 pour 20 000 parties
bonne journée à tous
Bonjour, je trouve 15833,33euros.
Merci pour l'énigme.
Le montant des bénéfices engrengés par le CSI s'élève à : 20.000€ (Vingt mille euro)
bonjour,
1er jeu:
1/9 chance de passer au jeu suivant
2/9 de perdre 5€
6/9 de ne rien gagner
on calcule alors l'esperance u joueur pour le 2e jeu:
1/8 chance de gagner 100€
2/8 de gagner 30€
5/8 de ne rien gagner
l'esperance est de 20€ (100*1/8 + 30*2/8)
alors pour le 1er jeu:
1/9 chance de gagner 20€
2/9 de perdre 5€
6/9 de ne rien gagner
l'esperance du joueur est de 10/9 (1.11€)
l'esperance de CSI(par partie) est alors 5-10/9 = 35/9
alors le CSI peut esperer gagner 35/9 x 20000 = 77777.78€(au centime pres)
ugh je sens bien le 
la...
merci pour l'enime 
Les bénéfices : B = E(X) * 20'000
xi + 5 € + 0 € - 30 € - 100 €
pi 6/15 23/40 1/60 1/120
Donc E(X) = 2/3
et B = 2/3 * 20'000
13'333,333
Les bénéfices sont donc de l'ordre de 13'333,33 euros.
Bonjour a tous.
Le CSI Manpower c'est le Conseil Superieur de l'Ile cree a l'occasion d'un defi sur les elections Ring a bell ?
minkus
Le CSI ne gagne rien :
tirer 1 jaune et 1 noire : 8 chances sur 15
tirer 2 noires et tomber sur rouge : 1/15 * 5/8 = 1/24
soit au total : 23/40
Le CSI gagne 5 euros :
tirer 2 jaunes : 2 chances sur 5
Le CSI perd 95 euros :
tirer 2 noires et tomber sur noir : 1/15 * 1/8 = 1/120
Le CSI perd 25 euros :
tirer 2 noires et tomber sur jaune : 1/15 * 1/4 = 1/60
Espérance : 0 * 23/40 + 5 * 2/5 - 95 * 1/120 - 25 * 1/60 = 19/24
Gain (point de vue probabiliste) : 20000 * 19/24 = 47500/3
Soit environ 15833,33 euros
Merci à tous pour votre participation.
Selon moi il n'y avait pas lieu d'y avoir de confusion dans 'mise comprise'. En effet cela veut bien dire que si le joueur dans le deuxième jeu arrive sur la zone noire gagne se voit attribué 100€. Mais étant donné qu'il a misé 5€, les pertes du CSI seront de 95€ et le bénéfice du joueur sera également de 95€. Ainsi avec cette définition, on arrivait à la fin à un résultat de 15833,33 €
J'hésitais entre les 2 définitions, et lorsque j'ai fait le calcul, la "fausse" définition me donnait des résultats plus simples : je me suis dit que c'était la bonne définition, à tort donc ...
On a vu des smileys accordés pour des ambiguités d'énoncé beaucoup moins évidentes que celle-là (voir dans les dix ou quinze dernières énigmes).
Selon moi, "...le joueur gagne 100€ (mise comprise), .." signifie qu'en prenant en compte le paiement de la mise initiale, le gain pour le joueur est de 100 euros.
Dans la cas retenu, il ne gagne en définitive que 95 euros.
Mais, je conçois qu'on puisse interpréter l'énocé autrement.
C'est toujours rageant de faire un raisonnement correct (ce qui est le plus important) et de se faire avoir pour une histoire d'énoncé ambigu.
Ca me rappelle certains "trapèzes"..
Allez, it's just for fun !!!
:)
Je ne veux surtout pas polémiquer, mais les ambiguités qui ont pu avoir lieu dans certaines des énigmes précédentes me semblaient plus justifiées que celles-ci... pour moi 'mise comprise' veut bien dire que dans les 100€ qu'on lui donne la mise est comprise, et donc 95 + 5...
Je suis très surpris qu'il y ai eu ambiguité à ce niveau...
Bonjour
Ce n'est pas par solidarite entre posteur d'enigmes mais il me semble que tous les exercices de probas de terminale qui utilisent l'expression "mise comprise" vont dans ce sens...
mais il me semble que tous les exercices de probas de terminale qui utilisent l'expression "mise comprise" vont dans ce sens...
Mais tout le monde ne connaît pas les exercices de Terminale. Le seul souvenir que j'ai de la Terminale est ma prof de Maths qui me répétait que le résultat n'était pas le plus important, contrairement à la démonstration.
Je suis très surpris qu'il y ai eu ambiguité à ce niveau...
Je suis mécontent surtout que n'ait pas été pris en compte le fait que j'ai fourni la réponse dans les 2 cas. De plus, l'autre définition amenait des calculs beaucoup plus simples : je pense que c'est une raison majeure pour laquelle une bonne proportion des réponses est 13333.33
mais les ambiguités qui ont pu avoir lieu dans certaines des énigmes précédentes me semblaient plus justifiées que celles-ci.
Je n'ai rien dit quand on a accordé un smiley aux 4,60 euros de taxe.
Suite à une légère ambiguité due à une mauvaise formulation de l'énoncé (possibilité ou non de mettre zéro pièce sur une case), deux réponses ont été acceptées, à savoir :
Dans l'énoncé, à aucun moment on évoque le sujet de la possibilité de mettre ou non un zéro. Est ce la une ambiguité ???
Lorsqu'on ne précise pas un point aussi important, cela peut être plutôt considéré comme possible et faire l'objet d'une piège (dans lequel certains sont tombé). C'est en tout cas c'est que j'ai pensé en répondant..
Ben quoi, on demandait la somme minimale et payer 3 euros c'est bien mieux que de payer 4,60 euros, il me semble. !!
...
Allez ! On s'est encore fait avoir sur ce coup-là..
Bonjour,
J'en rajoute une petite couche pour ceux qui ne sont pas "joueurs" (je n'ai pas dit "bons joueurs"...).
Quand on fait un pari où quand on joue à un jeu d'argent en général, on précise toujours pour ses gains si la mise est comprise .... ou déduite.
Lorsqu'elle est comprise, il s'agit d'un gain brut (comme un chiffre d'affaire).
Lorsqu'elle est déduite, il s'agit d'un gain net (comme des bénéfices).
Le mois n'est pas terminé, il y a d'autres énigmes : Restons Concentrés 
A bientôt, KiKo21.
>Nobody :
Le seul souvenir que j'ai de la Terminale est ma prof de Maths qui me répétait que le résultat n'était pas le plus important, contrairement à la démonstration.
Je suis bien d'accord avec ta prof et c'est la premiere chose a laquelle je me suis heurtee en tant que correcteur d'enigmes. Des le debut j'ai demande s'il etait possible de deroger a certaines regles pour pouvoir noter le raisonnement voire ne pas sanctionner les erreurs de raisonnement. Comme on pouvait le prevoir cela risquait d'amener des discussions vives et j'ai accpete d'etre le plus ferme possible.
>Nofotur2 :
Concernant le defi Taxe, tu as raison sur la forme. J'aurais du preciser :
vous devrez donner votre paiement en déposant sur chaque case d'un damier carre de 16 cases une ou plusieurs pièces de 10 centimes d'euro
Cependant, sans cette précision cette phrase me semblait d'ailleurs presque illogique (il faudrait en discuter) car on a l'impression de pouvoir placer une seule piece sur le damier. J'avoue être tiraillé à chaque fois que je dois poissonner un bon raisonnement comme je l'ai parfois fait remarquer à propos des unités par exemple.
minkus
pouvoir noter le raisonnement voire ne pas sanctionner les erreurs de raisonnement
Sinon ce que je voulais dire, c'est que
j'ai vu la difficulté qui résidait dans l'énoncé, je l'ai précisé dans ma réponse.
Pour prendre un exemple, dans un examen, lorsque un problème porte à confusion (et c'est le cas ici, vu le nombre non négligeable de personnes qui ont répondu 13333.33), qu'un candidat voit cette difficulté, précise qu'il a vu cette difficulté sur sa copie et qu'il prend tel choix, et donne un raisonnement correct, ce candidat n'est pas sanctionné (et en tout cas, je n'ai jamais sanctionné d'élèves dans ce cas là). En revanche, si la compréhension de l'énoncé est alambiquée, si l'élève fait un choix sans le marquer sur sa copie, il est normal de le sanctionner.
Les arguments de minkus et kiko21 montrent bien que j'ai fait le mauvais choix. Mais n'étant pas au courant de ces arguments (je ne fais pas d'ex. de Terminale, et je ne joue jamais à des jeux d'argent),
le joueur gagne 30€ (mise comprise)
il n'était pas alambiqué de penser que cela voulait dire que le joueur gagne 30 euros (au total, en comprenant la mise qu'il a jouée) et donc reçoit 35 euros. Une formulation plus claire aurait été de dire
le joueur recoit 30€ (mise comprise)
(mais c'est toujours facile de faire mieux a posteriori, que de faire bien du premier coup).
En bref, ce que je regrette ici, ca n'est pas la formulation moyennement précise de l'énoncé, ni le fait que j'ai eu faux, mais surtout le fait qu'on ne comprenne pas que cet énoncé puisse porter à confusion.
Mais n'étant pas au courant de ces arguments (je ne fais pas d'ex. de Terminale, et je ne joue jamais à des jeux d'argent),
Comme on dit en France, "Nul n'est censé ignorer la loi."
Je te rejoins un peu ici Nobody, je préfère admettre l'ambiguité et prendre une décision ferme quitte à m'en prendre sur le dos J'assume... Voir par exemple la correction du défi 2 du mois dernier avec les brins de muguet où les choix furent difficiles mais pleinement assumés.
Ce que je disais -et que tu as bien compris- c'était plutôt un rappel de la "coutume" mais c'est vrai que d'un point de vue extérieur on peut comprendre l'ambiguité.
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