Bonjour, je pense que la probabilité pour qu'il puisse brandir triomphalement l'as de coeur à la fin du tour est de 30!/31!; soit 1/31.

Merci pour l'énigme ^^

4,60 %  arrondi à la deuxième décimale

Pour que l'as de cœur soit la dernière carte, il faut tout d'abord qu'il reste constamment un multiple de 3 avant et après l'as de cœur.
Sur les 10 tirages, il y en a 5 à faire sur les cartes « antérieures » et 5 sur les cartes « postérieures ».
On remarque tout de suite que la difficulté provient du fait qu'on ne sait pas à quel moment l'as de cœur sera en bord de jeu, ce qui change le nombre de choix possibles.

Cette situation (as de coeur en bord de jeu) peut survenir après le 5ème, le 6ème, le 7ème ,le 8ème ou le 9ème coup.

La probabilité pour cette situation survienne après le 5ème coup est égale à :
2*[(13/29)*(10/26)*(7/23)*(4/20)*(1/17)]
Dans ce cas,  la probabilité que l'as de cœur soit la dernière est égale à :
2*[(13/29)*(10/26)*(7/23)*(4/20)*(1/17)]*[(13/14)*(10/11)*(7/8)*(4/5)*(1/2)] = 2*(13*10*7*4*1)²/(29*26*23*20*17*14*11*8*5*2)

Si je fais le raisonnement pour le 6ème, 7ème, 8ème et 9ème coup, je trouve respectivement 5, 15, 35 et 70 fois plus que cette valeur (calcul avec les C(n,p)).
Comme 1+5+15+35+70=126, la probabilité totale que l'as de coeur soit la dernière carte est égale à :
2*126*(13*10*7*4*1)²/(29*26*23*20*17*14*11*8*5*2),
soit 0,04596.

Ma réponse est :
5733/124729 (sous forme de fraction irréductible)
0.04596 environ
soit 4,6 %

Bonjour, cette énigme est bien moins simple qu'elle paraît. En effet, quand l'as arrive au bord de l'éventail, sa proba d'être pris change, puisq'on prend 3 cartes consécutives.
Sans mon ami excel, j'ai eu bien du mal, car je n'ai ici qu'une version piratée du début des années 90, qui ne calcule même pas les pgcd

Bref, je suis arrivée assez vite à une valeur approchée, mais je pense qu'on demande la valeur exacte pour une énigme 3 étoiles. J'ai donc décomposé en facteurs premiers et simplifié, une vraie galère.

Je trouve que la proba de garder en main l'as est de 5733/124729

ce qui fait approximativement 4,6 %

Merci pour cette énigme qui m'a fait passer une soirée passionnante (et prolongée)

Bonjour
J'ai deux réponse en tête mais je pense que la probabilitée 0.087 est la plus juste donc je répond
P =0.087.

Choukrane

Probabilités que l'as étant présent ne soit pas pris :
aux 5 premiers tirages : 26/29 * 23/26 * 20/23 * 17/20 * 14/17 = 14/29

613496/11394999 = 5,38 % environ

probabilité que l'as étant présent soit non pris aux tirages :
1 à 5 : 26/29 * 23/26 * 20/23 * 17/20 * 14/17 = 14/29
10 : 1/2
Par la suite, le premier terme de la somme se rapporte au cas où l'as se trouve en plein paquet et le deuxième au cas où il se trouve à une extrémité.
9 : (2/5 * 5/9) + (4/5 * 4/9) = 26/45
8 : (5/8 * 5/6) + (7/8 * 1/6) = 2/3
7 : (8/11 * 20/21) + (10/11 * 1/21) = 170/231
6 : (11/14 * 125/126) + (13/14 * 1/126) = 347/441
La réponse est le produit de ces probabilités.
Les probabilités d'extrémité aux tirages 9, 8, 7, 6 sont les probabilités que les 2, 3, 4, 5 derniers tirages se fassent du même côté de l'as (en envisageant le jeu 'à rebours'.

Je vous serais reconnaissant de ne pas considérer mon premier 'envoi' comme une réponse. Je l'ai posté trop tôt par une fausse manoeuvre.

Bonjour
Soit X le nombre de façons de tirer 3 cartes consécutives parmi 30
= aussi à mon avis le nombre de façons de tirer 1 parmi 10 = 10
*
Cas favorables : retirons l'as de coeur afin qu'il reste le dernier
               => cas favorables = X
Cas possibles : le nombre de façons de tirer 3 cartes consécutives afin qu'il reste la 1ère carte  (il suffit de la retirer au départ) = X
idem pour qu'il reste la 2ème carte = X
et ainsi de suite
jusque la 31 ème
=> cas possibles = 31.X
=> Probabilité demandée =
Ca sent le mais on verra
A+

la probabilité pour qu'il reste l'as à la fin est de 5733/124729 0,04596
Soit environ 4,6%

Bonsoir,

Cette probabilité est soit environ 0.04596.

A++

Bonjour et merci pour cette énigme super trop balaise

Apres 4 jours de calculs les plus dingues et les plus tortueux, apres différents essais de proba sur excel et apres 8 cachets pour le mal de crâne, je réponds, au grand risque du poisson, que la probabilité que le magicien brandisse l'as de coeur est de

31 chances sur 633, soit une probabilité de 0,048973173840887

J'ai a vrai dire des chances tout à fait semblables d'obtenir un smiley..

J'espère qu'on me dira comment faire plus simple que moi, étant donné que j'ai énoncé tous les cas possibles de déplacement de l'as de coeur

@ plus pour des énimges plus simples, Chaudrack

Bonjour, sans grande conviction je trouve soit .

Fractal

Bonjour,

Probabilité d'avoir l'as de coeur comme dernière carte = 7/232 soit environ 3.017 %.

A+,
gloubi

J'ai passé beaucoup de temps sur cette énigme alors j'espère que j'ai bon !

I - Les cinq premiers tirages.

n entier naturel entre 1 et 5. Au n° tirage, il y a 32 - 3n tirages possibles et toujours 3 tirages comprenant l'as de coeur. Si P est l'événément : "As de coeur encore dans le paquet après les cinq premiers tirages",
On trouve P = 26/29 * 23/26 * 20/23 * 17/20 * 14/17.
P = 14/29.

II - Du sixième au neuvième tirage.

On considère que l'as est encore dans le paquet.
A partir du sixième tirage, le problème se complique car l'as peut se trouver à une extrémité, réduisant le nombre de tirages le comprenant à un seul. Les situations avant le sixième tirage sont :
1) * * * * * As
2) * * * * As *
3) * * * As * * où * désigne un groupe de trois cartes et As l'as de coeur. (Sans oublier les symétriques respectifs)

A chacun des cinq premiers tirages, on a associé la lettre G ou D suivant que le groupe de cartes a été pris à gauche ou à droite de l'as de coeur.

1) se réalise avec une probabilité de 2/32 par DDDDD ou GGGGG.
2) se réalise avec une probabilité de 10/32 car (1 parmi 5)*2 = 10 (on multiplie pour la symétrie).
3) se réalise avec une probabilité de 20/32 car (2 parmi 5)*2 = 20 (ou par différence).

Si 1), la probabilité d'avoir toujours l'as de coeur dans le paquet après le neuvième tirage est : 13/22
Si 2), cette probabilité est de 5/22
Si 3), cette probabilité est de 4/22
Ces probabilités sont obtenues par un arbre "normal" mais il faut de la patience (Pourvu que les calculs soient bons !).

D'après la formule des probabilités totales, si Q = "As de coeur encore dans le paquet après le neuvième tirage", alors p (Q sachant P) = 2/32*13/22 + 10/32*5/22 + 20/32 * 4/22 = 39/176.

III - Dernier tirage.

Le plus simple ! Il reste cinq cartes donc deux tirages possibles. L'as est nécessairement à l'une des extrémités. Soit il est tiré, soit le magicien réussit son tour.
Si R = "Le magicien réussit son tour", p (R sachant Q) = 1/2.

IV - Bilan.

p(R) = p (P) * p (Q sachant P) * p (R sachant Q) = 273/5104 soit un peu plus de 0,05.

Si c'est correct, je ne deviendrai pas prestidigitateur avec ce tour. La probabilité si faible de succès me fait penser à une erreur.

Merci pour toutes ces énigmes !

Merci à tous de votre participation à cette énigme.

Yessss !

Comme je l'ai dit quand j'ai posté, la valeur approchée ne m'a pas donné trop de mal, je l'ai trouvée "au feeling". Par contre, la valeur exacte m'a demandé des heures car je n'avais pas les bons instruments.

Je tire mon chapeau à Fractal, car pour un élève qui sort de 1e, ce n'était vraiment pas facile.

Et je mets mon raisonnement :

J'ai travaillé avec les positions possibles de l'as de coeur.

1er tirage : 29 cas possibles
3/29 on tire l'as
13/29 l'as reste en 16
13/29 l'as passe en 13

2e tirage : 26 cas possibles
si l'as est en 16
3/26 on tire l'as
10/26 l'as raste en 16
13/26 l'as passe en 13

si l'as est en 16
3/26 on tire l'as
13/26 l'as reste en 13
10/26 l'as passe en 10

3e tirage : 23 possibilités
on continue....

au 6e tirage, 14 possibilités

si l'as est en 16
1/14 on tire l'as
13/14 l'as passe en 13

pour les positions 13, 10, 7, 4 on a toujours 3/14 de tirer l'as mais si l'as est en 1, on n'a que 1/14 de le tirer.

On continue comme ça jusqu'au dernier tirage. Pour une fois, je l'ai faite avec papier et stylo...

Très bonne énigme

Bonjour!
Je crois avoir trouvé une faille dans le raisonnement de Nofutur2 (et chez les autres).
Par exemple, si l'as se trouve pour la première fois à une extrémité après le 6e tirage, la probabilité qu'il reste le dernier n'est pas 5 fois supérieure à celle du cas où il se trouve à une extrémité après le cinquième tirage. Pour le calcul de cette probabilité, il faut remplacer dans la formule 13/14 par 11/14 (l'as est encore en plein paquet quand il reste 16 cartes).
Les multiplicateurs devraient être corrigés comme suit :
1 -> 1
5 -> 5 * 11/13 = 55/13
15 -> 15 * 11/13 * 8/10 = 132/13
35 -> 35 * 11/13 * 8/10 * 5/7 = 220/13
70 -> 70 * 11/13 * 8/10 * 5/7 *2/4 + 220/13
Somme des multiplicateurs : 640/13 au lieu de 126 ou 1638/13
La réponse devrait donc être multipliée par 640/1638.

Une réponse supérieure à 1/31 est d'ailleurs suspecte, car l'as étant en plein paquet et destiné à y rester, en probabilité, plus longtemps que les autres cartes, il est plus exposé à être pris.

Salut Plumemeteore,

Contrairement à Nofutur qui a certainement raisonné dans l'abstrait (et que j'admire pour ça), j'ai 6 pages d'arbres très clairs et pratiquement sans ratures. Je te détaille le 6e tirage

au 6e tirage, 14 possibilités

si l'as est en 16
1/14 on tire l'as
13/14 l'as passe en 13

si l'as est en 13
3/14 on tire l'as
1/14 as reste en 13
10/14 as passe en 10

si l'as est en 10
3/14 on tire l'as
4/14 as reste en 10
7/14 as passe en 7

si l'as est en 7
3/14 on tire l'as
7/14 as reste en 7
4/14 as passe en 4


si l'as est en 4
3/14 on tire l'as
10/14 as reste en 4
1/14 as passe en 1


si l'as est en 1
1/14 on tire l'as
13/14 l'as reste en 1

Puis on continue...
au 7e tirage, la proba de tirer l'as est de 1/11 si l'as est en 13 et en 1 et de 3/11 s'il est en 10, 7 ou 4.

etc....

Bonjour à tous!

Je suis deg, j'ai utilisé la même méthode que Borneo, mais malheureusement j'ai dû faire une erreur de calcul et j'ai donc gagné un poisson.

Mais bon, c'est le jeu, c'est le jeu!

Esperons ne pas en cultiver d'autres..

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

J'avais moi aussi cherché cette énigme et après avoir commencer par faire des arbres (à partir du 6e tirage seulement) je me suis rendu compte que ca ne servait à rien finalement. Voici la réponse que j'avais posté dans le forum privé, sans garanties

Bon ca y est je pense avoir trouvé et ce n'est pas si compliqué que ça finalement.

Ma réponse est .

J'explique.

En fait pour que la carte du milieu (la 16) se retrouve à la fin il faut que dans les 10 étapes on ait pioché 5 fois à gauche et 5 fois à droite.

On doit donc dans un premier temps dénombrer le nombre de façons qu'il y a de faire cela. C'est un "bête" exercice d'annagrammes de Terminale S.

On doit prendre les annagrammes du mot G G G G G D D D D D  avec G pour gacuche et D pour droite.

On sait qu'il y a   annagrammes de ce type soit 9*7*4 = 252 possibilités.

Ensuite il faut essayer de calculer la probabilité  des différentes possibilités en espérant que ce soit toujours la même.

Voyons ça de plus près.

Comme je l'ai dit dans le message précédent, les choix de cartes successifs se font sur des totaux décroissants de 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, et 2.

Ce sont les 10 dénominateurs de notre fraction de proba.

Pour les numérateurs c'est un peu plus difficile.

Imaginons la séquence G G G G G D D D D D alors le premier G s'obtient avec une proba de car sur les 29 tirages de 3 cartes consécutifs possibles, il y en 13 possibles à gauche (plus 13 possibles à droite plus les 3 qui contiennent la crte 16 : 14-15-16,  15-16-17 et 16-17-18). Pour le 2e G on a une proba de car on a enlevé 3 cartes à gauche. Les dénominateurs sont donc 13, 10, 7, 4, 1 pour les tirages à gauche et ensuite 13, 10, 7, 4 et 1 pour les 5 tirages à droite.

En fait comme le nombre de cartes diminuent à chaque fois de 3 cartes à gauche ou de 3 cartes à droite le nombre de trio de cartes "tirables" passera forcément par les totaux 10, 7, 4 et 1.

En conclusion, quelle que l'ordre Gauche-Droite des triages la proba aura toujours les 10 mêmes numérateurs : 2 fois le 13, 2 fois le 10, 2 fois le 7, 2 fois le 4 et 2 fois le 1.

Selon les "annagrammes", les numérateurs ne sont pas forcément placés au dessus des mêmes dénominateurs mais cela ne modifie pas le produit.

En conclusion la probabilité d'une éventualité est :

13*10*7*4*1*13*10*7*4*1/29*26*23*20*17*14*11*8*5*2


Sauf erreur de calcul, cela donne
9*49*13/29*23*17*11

En multipliant par le nombre d'annagrammes 252 on retrouve donné au début.

Voilà, il n'est pas garanti que ce soit la bonne réponse

minkus