D'après les symetries, on déduis facilement que (AG) coupe le paralelogramme BEHC en son milieu. Appelons le I.
(En effet, (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, donc (AG),(CE),(BH) et (DF)sont concourantes en I, milieu de [CE] et [BH] )

On considere désormais la pyramide ACEB. I appartient à [CE] car c'est un parallelogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux. Donc (AG) appartient à la face (ACE). Donc (AI) est une médiane de ACE issue de A.

Appelons J le milieu de [CA]. Donc J appartient à [DB], donc au plan (DBE).

La droite d'intersection de (ACE) avec (DEB) contient: E (logique), K car par hypothèse K appartient à DBE et la droite (AI) contenant K appartient à la face (ACE). Elle continet aussi J, milieu de [DB] et [AC]

Donc E,K et J sont alignés, et J est le milieu de [AC] donc (EJ) est une autre médiane de (ACE). Ces medianes se coupent en K, centre de gravité du triangle, donc par définition:
AK=(2/3)AI

Comme on peut le remarquer, ce probleme est symetrique, donc en remplacant A par G, D par F,B par H, C par E, K par L, on obtient:
GL=(2/3)GI

Comme AI =IG d'après les symetries:
AK=(2/3)IG=(1/3)AG
Et LG=(1/3)AG



Donc [AG] est partagé en 3 parties égales séparées par K et L.

Bonsoir,

je propose une solution analytique :

Choix du repère : (C;CB;CD;CH)

Coordonnées des points dans ce repère :

A(1;1;0) B(1;0;0) C(0;0;0) D(0;1;0) E(1;0;1) F(1;-1;1) G(0;-1;1) H(0;0;1)

Equation du plan (EDB)
Recherche sous la forme ax+by+cz=1, en utilisant les coordonnées des points E, D et B.
On trouve : x+y=1

Equation du plan (CHF)
Recherche sous la forme ax+by+cz=0, en utilisant les coordonnées des points C, H et F.
On trouve : x+y=0

Equation paramétrique de la droite (AG)

Vecteur AG(-1;-2;1)

x=-t+1
y=-2t+1
z=t

Avec : t=0 pour le point et t=1 pour le point G.

Coordonnées du point K
Intersection du plan (EDB) et de la droite (AG)

x+y=1
<==> -t+1-2t+1=1
<==> t=1/3

Donc K(2/3;1/3;1/3)

Coordonnées du point L
Intersection du plan (CHF) et de la droite (AG)

x+y=0
<==> -t+1-2t+1=0
<==> t=2/3

Donc L(1/3;-1/3;2/3)

Conclusion :
les valeurs du paramètres t, qui vaut 0, 1/3, 2/3 et 1 respectivement pour les points A, K, L et G démontre que le segment [AG] est partagé en 3 parties égales par les plans (CHF) et (EDB).
On peut aussi déterminer les coordonnées des vecteurs AK, KL et LG, et constater qu'ils sont égaux au tiers du vecteur AG.
Et ne surtout pas calculer les longueurs AK, KL et LG, nous ne sommes pas dans un repère orthonormé !!

Je suppose qu'il existe une solution non-analytique, je vais chercher ...

Soit O le milieu du parallélogramme BEHC.
Les points D et F, C et E, B et H, A et G sont symétriques par rapport à O (en utilisant la relation de Chasles et les égalités de vecteurs).
On en déduit que les droites DE et CF, DB et HF, BE et CH sont symétriques par rapport à O, donc parallèles deux à deux.
De même, les plans DBE et CHF, dans lesquels sont incluses ces droites, sont symétriques par rapport à O, donc parallèles.
Toute droite passant par O coupe donc ces deux plans en deux points symétriques. On a donc K et L symétriques par rapport à O et OK=OL.

Soient O₁ et O₂ les centres respectifs des parallélogrammes ABCD et EFGH.
Les droites AO₁C et EO₂G sont parallèles par symétrie donc coplanaires. Appelons P, ce plan qui contient O.
K AO K P
De plus K BDE
Donc K P (BDE)
K EO₁
Dans le triangle AEC, K est donc sur la médiane issue de E. De plus il est sur AO, donc sur la médiane issue de A.
K est donc de centre de gravité de AEC et KO=1/2 * AK.
Comme KO=LO=1/2 * KL, on en déduit que AK=KL.
Par symétrie, on a AK=LG.
Donc AK=KL=LG
Le segment [AG] est donc partagé en trois parties égales par les plans CHF et EDB.

Bonsoir Puisea,

Et pourquoi pas de la géométrie analytique!
Soit F(a,0,0),H(0,b,0),C(0,0,c)
L'équation du plan FHC est x/a+y/b+z/c=1 (1)
Soit D(0,b,c),B(a,0,c),E(a,b,0)
L'équation du plan DBE est x/a+y/b+z/c=2 (2)
L'équation de la droite (GA) est x/a=y/b=z/c (3)

La coordonnée de K (1) et (3)=> K(2/3a,2/3b,2/3c)
La coordonnée de L (2) et (3)=> L(a/3,b/3,c/3)

bonsoir
on a
donc ABFE est un parallélogramme, dont les diagonales se coupent en leur milieu I
D'autre part, les plans DBE et CGF sont parallèles, car

Donc, dans le triangle ALF, I appartient à [AF], K appartient à [AL] et les droites (IK) et (LF) sont parallèles, puiqu'elles appartiennent à deux plans parallèles et qu'elles sont coplanaires.

D'après le théorème de Thalès, AI/AF = AK/AL, donc AK = (1/2)AL, donc K est le milieu de [AL]

De même, DHGC est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu J.

Dans le triangle GDK, J appartient à [DG] et L appartient à [GK] et (DK) est parallèle à (CL), donc d'après le théorème de Thalès, GJ/GD = GL/GK, donc GL = (1/2)GK, L est donc le milieu de [GK]

Par conséquent, on a AK = KL = LG

bonsoir
NB les lettres en minuscules signifient qu'il est question de vecteurs
Soit O le milieu de AG
oa+ad+dc = oc = -og-gf-fe = -oe
oc = -ce : O, C, E sont en lignes droites et OC = OE
le plan du triangle ACE contient AO, donc contient K
les plans ACE et BDE  ont comme intersection la droite (EK); ils ont notamment comme point commune le point M de rencontre entre AC et BD; E, K, M sont en ligne droite
AKO et EKM sont donc deux médianes du triangle ACE (AM = MC, car M est le point de rencontre des diagonales du parallélogramme ABCD
AK = 2AO/3 et comme AG = 2 AO, AK = AG/3
le plan du triangle GCE contient GO, donc contient L
les plans GCE et CFH ont comme intersection la droite (CL); ils ont notamment comme point commun le point N de rencontre entre GE et FH; C, L, N sont en ligne droite
GLO et CLN sont donc deux médianes du triangle GCE (GN = GE, car N est le point de rencontre des diagonales du parallélogramme EFGH)
GL = 2GO/3 et comme AG = 2 GO, GL = AG/3
[AK] et [GL] étant deux des tiers du segment [AG], [KL] en est le troisième tiers
joli problème !

Bonjour _{(et merci aux enfants pour ce réveil dominical anticipé!)}

Première démonstration: _{(Niveau 4-3eme)}
• Par définition A,K,L,G sont alignés

• Par translation du parallélogramme ABCD, ABCDEFGH est un parallélépipède et ses diagonales [AG] et [BH] sont sécantes en leur milieu I _{(au besoin dans le parallélogramme ABGH)}.

• AEHD est un parallélogramme ( par translation) donc ses diagonales [AH] et [ED] se coupent en leur milieu B'.
• Les plans (ABH) et (BDE) se coupent selon (BB'). De plus, et (par définition) donc .
  Ainsi, dans le triangle ABH, K intersection des médianes (BB') et (AI) est le centre de gravité; d'où .

• De même, par symétrie, .

• Avec I milieu de [AG] et A,K,I,L,G alignés, on en conclut que:
    et  
  puis . _{(toutes ces égalités étant encore vraies vectoriellement si on veut se passer de l'alignement)}
  Conclusion: AK=KL=LG et le résultat.

Deuxième démonstration: _(idée)
Propriété: Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales.
En utilisant cette propriété du plan, dans le parallélogramme ABGH, le résultat est instantané !

Merci puisea pour l'exercice _{(surétoilé?)}.  

Bonjour,

K faisant partie du plan DBE, K est le barycentre des points B, D et E affectés des coefficients , et . Alors, on a la relation :
.

De même pour L, avec des notations évidentes :
.
Comme on a affaire à des parallélogrammes,
.
Or, et sont colinéaires,
donc , et . ^{(on suppose ici que , et forment une base de l'espace, ce qui suppose que le parallélogramme ne soit pas réduit à un point et que le vecteur translation ne soit pas dans le même plan que le parallélogramme. C'est ce que semble supposer l'énoncé.)}
On a donc le résultat suivant :
.

De plus, .
Donc, les coefficients b,d et e précédents sont tous égaux, et valent tous par exemple 1/3 :
.

On a donc , qui est le résultat demandé.

Merci pour cette enigme (non triaviale). C'est vrai qu'avec la géometrie dans l'espace, c'est pas gagné d'avance. J'espère que j'aurai été clair


Bonne chance pour la correction

Bonjour

  =>

ADHE est 1 parallélogramme ; P = des diagonales = milieu de AH = milieu de DE
BCGF .......................................Q=..............................................  CF ................. BG
*
=>

ABGH est 1 parallélogramme  de centre O et dans ce plan
BP (droite de EDB) coupe AG en K
HQ (droite de CHF) coupe AG en L
Dans ALH ;  KP(BP) est // LH(QH) et comme P est milieu de AH alors  K est milieu de [AL] => |AK|=|KL|
de même dans BGK  on a |KL| = |LG|
*
=>|AK| = |KL| = |LG|
cqfd
A+

Soit I le centre de gravité du triangle BDE. On a donc, vectoriellement, AB+AD+AE=3AI; mais AG=AB+AD+AE; donc AG=3AI et I appartient à AG et au plan BDE, donc est confondu avec K; donc AG=3AK. Idem pou L...GA=3GL
cqfd

salut tt le monde
Je voix qu'on fait de temps a autre un saut ds la classe  pour jouer le role d'eleve ou de prof.
reponse au challenge:
les 8 pts :A,E,H,D,B,F,G,C forment 1 parallélipépéde dont les faces sont ds parallèlogrammes .
soit K' le centre de AEFB .trasons la diagonale[AF].
on a: (DB)//(HF) et (DE)//(CF)donc les plans (DBE)et (HCF) sont parallèles parconsèquent le plan (ALF) les coupe sur 2 droites parllèles on en deduit que KK')//(LF)or k' est le milieu de [AF]donc d'après le théorème de thalès K est le melieu de [AL].
de la meme façon on montre que L est le milieu de [KG]
il suffira de considerer L' le centre de CDLG et de substutuer le role du plan (ALF) au plan (GDK).

bonjour,

J'appelle O le milieu de [AG] et je vais considérer S, la symétrie de centre O.
Il est clair qu'elle envoie A sur G et réciproquement. S(A)=G.

Les propriétés du parallèlogramme et de la translation nous donne clairement :

et


La translation nous donne aussi :

De ces égalités, on en déduit que ABGH, ADGF et ACGE sont des parallèlogrammes.
[AG] étant une diagonale, on a O centre du parallèlogramme et donc
S(B)=H, S(D)=F et S(C)=E et réciproquement.

Donc le plan (BDE) a pour image le plan (CHF) par la symétrie.
Comme K et L sont dans ces plans et que O est sur la droite (KL), on peut conclure que L est l'image de K par S.

Donc l'image de est et donc AK=LG.

Nous allons maintenant démontrer que . En effet, nous aurons alors et donc et nous aurons démontrer que et aurons alors fini la démonstration.

N'ayant pas trouvé de moyens simples pour démontrer que , nous allons nous lancer dans une petite démo analytique
Soit O le centre d'un repère orthonormé, tel que l'axe (Oy) soit parallèle à (BE) et l'axe (Ox) soit dans le plan du parallèlogramme BCHE.
On a alors les coordonnées :


Soit le vecteur de la translation initiale

Alors on obtient les coordonnées des autres points :


Ayant un repère orthonormé, on va pouvoir utiliser le produit vectoriel et ainsi déterminer l'équation du plan (DBE) auquel appartient K.
On a
D'où le produit vectoriel :



On a alors l'équation du plan :

E appartenant au plan, on peut calculer et on a

Ce qui nous donne au final l'équation du plan :

K appartenant à la droite (OA), il existe un paramètre k tel que .
D'où le système suivant avec K(x,y,z) :


On a donc les coordonnées de K. Or celui-ci appartient au plan (DBE). En réinjectant ces coordonnées dans l'équation du plan, il vient :




donc k=1/3  CQFD !!!

Ici fini la démonstration, et on a bien l'égalité demandé.

J'espère voir des démonstrations plus simples et plus subtiles

Merci

Ptitjean

Bonjour

Et ben pas évidente ton énigme Pierre !

Démonstration

On décompose le vecteur de cette façon :



Les parallélogrammes et sont égaux donc et .

On peut ainsi écrire :

Puis : .

Rappelons au préalable que :



Si on considère le barycentre du système pondéré suivant :

.

En posant on aboutit à .

Par conséquent est le centre de gravité du triangle avec .

Il en advient que appartient au plan et au segment donc il appartient à leur intersection c'est à dire à   donc finalement .

On peut alors écrire

On procède de manière identique pour la suite :



Avec le centre de gravité du triangle .

On a alors qui appartient au plan et au segment donc il appartient à leur intersection c'est à dire à donc finalement .

On peut alors écrire .

Par ailleurs .

En somme on a les deux résultats suivants :

On a donc démontré que le segment est partagé en trois parties égales par les plans et .


Merci pour l'énigme

Bonjour,

Les parallèlogrammes ABCD et EFGH ne sont pas coplanaires.
Choisissons donc un repère de centre C et de base CB, CD, CH.
Dans ce repère, les coordonnées des points des deux parallèlogrammes sont indiquées sur la figure jointe.

Le plan passant par les points B, D, E a pour équation x+y-1=0.
Celui passant par C, F, H: x+y=0.

Montrons que le point situé au tiers du segment [AG] ppartient au plan BDE.
Ce point a pour coordonnées 2/3, 1/3, 1/3. On a bien x+y-1 = 0. C'est le point K de la figure.

De même le point situé au deux tiers du segment [AG] appartient au plan CFH.
Ses cordonnées: 1/3, -1/3, 2/3. x+y = 0. C'est le point L.

Le segment [AG] est donc bien partagé en trois parties ègales par les plans BDE et CFH. CQFD.

A+,
gloubi

salut,
j'ai rien à perdre donc je tente ma chance:
d'abord on a les parallélogramme ABCD, EFGH et BCHE.
ON A: (FG)//(AD) et (GL)=(AK).
DONC: mes(LGF)=mes(DKA). / mes(X): mesure de l'angle X.
(1)
ON A: (BD)//(HF) avec: (BE) et (DE)non parallèle
    etBE)//(CH)  et: (CF) et (HF) non parallèle
DONC: (CHF)//(EBD)
PUISQUE: (DK)(EBD)
  ET: (FL)//(FHC)
DONC: (DK)//(FL).
ON A: (AD)//(FG).
DONC: mes(ADK)=mes(LFG). (2)
ON A: AK=LG. (3)
DE (1) (2) et (3) ON DEDUIT QUE LES RECTANGLES ADK ET FLG sont identique.
resultat: AK=LG.
PUISQUE [AG] se compose de 3 parties: AK, LG et KL ainsi que: AK=LG.
DONC: KL=AK=LG.
RESULTAT: [AG] SE COMPOSE DE 3 PARTIES EGALES.

Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Première partie: Démonstration que les plans BDE et CHF sont égaux

-BDE est défini par le point B et les vecteurs BD et BE

-CHF est définit par le point C et les vecteurs FH (=BD puisque F est le translaté de B et H celui de D) et CH (=BE en effet, on décompose CH=CD+DH et BE=BA+AE hors AE=DH=vecteur de la translation originelle et BA=CD puisque parallélogramme)

Nous avons donc deux plans définis par les mêmes vecteurs, nos plans sont donc parallèles.

------

On introduit les plans P_A et P_G parallèles à BDE et CHF passant respectivement par A et G

Deuxième partie: Démonstration que la distance P_A BDE est la même que la distance BDE  CHF et que la distance CHF P_G

-BDE est la translation de P_A selon le vecteur AB
-CHF est la translation de BDE selon le vecteur EF (=AB puisque E translaté de A et F celui de B)
-P_G est la translation de CHF selon le vecteur HG (=EF=AB puisque parallélogramme)

Bon donc on a des plans qui sont en fait les images successives de P_A par la même translation répétée, leur distance est donc bien toujours la même

------
Troisième partie: Conclusion

On prend les vecteurs AK, KL et LG. Ces vecteurs ont même sens et même direction (ils sont sur la même droite).

Si on les projette sur une droite perpendiculaires au plan P_A par exemple (cette droite est également perpendiculaire à BDE CHF et P_G puisque les plans sont parallèles), on remarque que leurs projettés sont identiques (même sens/directions et la norme étant la distance entre les plans parallèles -cf 1- et équidistants -cf 2- ).

On en déduit donc que ces vecteurs sont identiques, donc que AK=KL=LG vectoriellement parlant. Ce qui implique bien sur que la distance AK est égale aux distance KL et LG.

Pour ce qui est de aérée :

Bonjour,

Soit T la translation non nulle opérée sur le parallélogramme ABCD
EFGH = T(ABCD) EFGH // ABCD
HF EFGH et DB ABCD HF // DB

G = T(C) et F = T(B) CG // BF
EFGH parallélogramme GH // FE
CG // BF et GH // FE CH // BE

CH // BE et HF // DB CHF // DBE

Soit M = DB AC
ABCD parallélogramme M milieu de AC
CHF // DBE MK // CL
K AG et L AG

conclusion 1 :
AK/AL = AM/AC = 1/2 (Thalès car triangles semblables AMK et ACL)
AK/(AK+KL) = 1/2
AK = KL

Soit N = HF EG
EFGH parallélogramme N milieu de GE
CHF // DBE NL // EK
K AG et L AG

conclusion 2 :
GL/GK = GN/GE = 1/2 (Thalès car triangles semblables GNL et GEK)
Gl/(GL+LK) = 1/2
GL = LK

CONCLUSION :

AK = KL = LG = 1/3.(AG)

Merci Puiséa. A bientôt, KiKo21.

Bonjour

voici une démonstration possible parmi d'autres:

Désolé puisea mais je vais introduire un nouveau point défini ainsi : c'est le point de tel que

on à

or   et  

donc

ainsi

donc

on en conclut que appartient au plan

or comme il appartient aussi au segment il est donc l'intersection de avec

conclusion: est confondu avec

d'où

de la même manière on montre facilement que

ainsi : le segment [AG] est partagé en trois parties égales par les plans CHF et EDB.

Pour t'éviter un tube d'aspirine, je "zappe" les étapes intermédiaires:

Les plans DBE et CHF sont parallèles (conséquence de la translation).

Soit P le plan paralèlle à DBE ou CHF et passant par A.

P, DBE, CHF sont équidistants (diagonales du parallélograme se coupant en leur milieu), donc [A,K] = [KL]

De la même manière on considère P' le plan parallèle à DBE ou CHF et passant par G.

P', DBE et CHF sont équidistants donc [KL]=[LG]

Bonjour à tous !

Je cloture l'énigme qui compte pour le mois de janvier . Merci de votre participation.

Je tiens à préciser que je réserve pour le moment mon jugement sur la démonstration de madani en attendant l'avis d'autres personnes (sur le privé). Mais vous pouvez faire vos remarques ici

@+

Bonjour
> piepalm
Bravo ; clair conçis et précis
A+

Bonjour Puisea. Un élève "ordinaire" de quelle classe pouvait y arriver ?

merci pour cette énigme géométrique
personnellement, la démonstration de madani me semble correcte

Bonjour Borneo,

Un lycéen a les connaissances suffisantes pour trouver la solution. Pour ce qu'affirme manpower avec un niveau 4/3 ème, j'ai des doutes

Et après, tout dépend ce que l'on entend par "ordinaire" .

salut tt le monde
on a encore oublié de me donner un émoticone qui souris ou un squelette de poissons!

Bonjour,

> Madami

Lis les posts de Puiséa à 12:58 et de Smil à 14:26 : Tu es en sursis...

A+, KiKo21.

merci Kiko21 c'est la deuxième fois que ca m'arrive et c'est la première fois que je sais que je suis en sursis bien que je ne comprends pas la cause!!!

Infophile, ta présentation est de toute beauté !!

Je n'ose imaginer à quoi ressemble tes DM

Tu as raison : le rendu est splendide !

bonsoir a tt et ts
je remercie fortement caylus pour la figure et j'aimerai bien que quelqu'un m'explique comment on peut faire un tel produit? et merci d'avance!

A priori je pense que caylus a utiliser le logiciel Cabri géométre (logiciel de géométrie dynamique). Il confirmera peut-être.

personnellement comme logiciel de géométrie j'utilise maintenant mathgraph32 que je trouve ultra complet et pratique d'utilisation.

merci youpi
pouvez vous m'indiquer un lien qui me permettra de télécharger mathgraph32 gratuitement?

Voici un lien vers le site du CNDP où le logiciel est proposé en version limité (limité à la création 100 objets géométriques):
Aller dans téléchargement : mathgraph32 col-lycée.
Cette version permet déjà de faire énormément de figures et de bien prendre en main le logiciel.

Sinon la version complète est au prix de 22€ ce qui est très raisonnable.

a noter que des améliorations vont bientôt apparaître, notamment la possibilité de travail dans le plan complexe (création de lieu de point etc ...).
Toutes les mise à jour du logiciel sont téléchargeables gratuitement sur le site du CNDP.

mathgraph32 permet de faire de la géométrie dynamique mais également des tracés de courbes de fonctions, des calculs de dérivées etc...

merci indefiniment youpi c'est déja fait avec succés! D'habitude mes constructions géometriques sont faites uniquement avec woord vous imaginez maintenant l'aide que vous m'avez offert!

Dis moi Kévin avec ça t'as au moins 20/20 à tous tes DMs j'éspère !

Ben figure toi que mon prof ne les note pas

Bonsoir,

pour garder l'anonymat vis à vis de ton prof, c'est gagné

borneo > Oui c'est vrai

salut Kévin, joli travail, bravo !

A la fin, pour l'aire, est-ce bien ( ln(2) )^3 que tu as voulu écrire ? ( pas ln( 2^3 ) ? )

Bonsoir mikayaou

Oui j'ai bien écrit (ln(2))^2

Ce n'est pas ça ?

euh pardon (ln(2))^3

si c'est bien ça (enfin ^3) mais le manque de parenthèses pouvait être ambigu

Ah oui effectivement

Trop tard maintenant ce DM est rendu

j'adresse un éloge à Pulsea pour son habileté et sa ténaité à corriger ces nombreuses solutions qui semblent difficiles et bien différentes les unes des autres