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Niveau 2 *
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Challenge n°36**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
09-11-04 à 20:35

Chaque côté d'un rectangle est divisée en trois parties égales. Les points obtenus sont reliés entre eux de tel sorte que l'on obtient la figure ci-dessous. Combien vaut le quotient de l'aire de la partie blanche sur l'aire de la partie grisée ?

Réponse formulée et argumentée recquise...

Bonne chance à tous



Challenge n°36

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°36** 09-11-04 à 21:14

gagnéBonsoir,

Notons L la longueur du rectangle et l sa largeur.

Estimation de l'aire de la partie blanche :
Elle est composée de 4 triangles (2 dont "la base" est sur la largeur et 2 dont "la base " est sur la longueur)
Il parait évident que chacun des triangles d'un des groupes de 2 cités ci-dessus ont la même aire.

aire d'un triangle blanc dont "la base" est sur la longueur : 4$\frac{\frac{L}{3}\times \frac{l}{2}}{2}=\frac{L\times l}{12}
Comme il sont au nombre de deux l'aire "de ce groupe" de triangle est donc de :\frac{L\times l}{6}

Aire d'un triangle blanc "dont la base" est sur la largeur : 4$\frac{\frac{L}{2}\times \frac{L}{2}}{2}=\frac{L\times l}{12}
Comme il sont au nombre de deux l'aire "de ce groupe" de triangle est donc de :\frac{L\times l}{6}.

D'où la partie blanche a pour aire : 2\times\frac{L\times l}{6}=\frac{L\times l}{3}

Aire de la partie grise :aire du rectangle - aire de la partie blanche.
Donc la partie grise a pour aire : L\times l -\frac{L\times l}{3}=\frac{2\times L\times l}{3}


le quotient de l'aire de la partie blanche sur l'aire de la partie grisée est donc
4$\frac{\frac{L\times l}{3}}{\frac{2\times L\times l}{3}}=\frac{1}{2}

Conclusion :
le quotient de l'aire de la partie blanche sur l'aire de la partie grisée est donc 4$\frac{1}{2}

Salut

Posté par ericbfd (invité)re : Challenge n°36** 09-11-04 à 21:22

gagnéQuotient = 1/2

On designe par a et b, les longueurs des cotes du rectangle.
Il y a 4 triangles isoceles blancs dont les sommets sont au centre du rectangle:
- 2 ont une base a/3 et une hauteur b/2 dont l'aire vaut ab/6
- 2 ont une base b/3 et une hauteur a/2 dont l'aire vaut egalement ab/6
L'aire de la partie blanche vaut ab/6 + ab/6 = ab/3

L'aire grise vaut ab - ab/3 = 2ab/3 (l'aire du rectangle moins l'aire de la partie blanche)

Le quotient nous donne (ab/3)/(2ab/3) = 1/2

Posté par minotaure (invité)re : Challenge n°36** 09-11-04 à 23:46

gagnésalut
bon je me lance (vous me direz au poisson de me rattraper...)

soit L la longueur du rectangle vert et l sa largeur.
aire du recatangle vert L*l.Soit O le centre de symetrie du rectangle.

aire de la partie blanche :
elle est composee de 4 triangles.
l'aire de celui de gauche est egale a celui de droite
et celle du bas est egale a celui du haut.
Pourquoi ?
les aires de ces triangles sont egaux car celui du haut est le symetrique de celui du bas par la symetrie centrale de centre 0.
et comment on peut le remarquer ?
on considere un repere orhtonormal (O,i,j)
on note A(-L/2,l/2) A1(-L/6,l/2) A2(L/6,l/2)
B(L/2,l/2) B1(L/2,l/6) B2(L/2,-l/6)
C(L/2,-l/2) C1(L/6,-l/2) C2(-L/6,-l/2)
D(-L/2,-l/2) D1(-L/2,-l/6) D2(-L/2,l/6)

par des calculs simples on remarque que O est milieu
de [A1,C1] et [A2,C2].


meme chose pour celui du bas et celui du haut.


celui de gauche a comme aire (L/2)*(l/3)/2
celui du bas a comme aire (l/2)*(L/3)/2
donc aire de la partie blanche :
[(L/2)*(l/3)/2]*2+[(l/2)*(L/3)/2]*2=l*L/3

aire de la partie grise :
aire du rectangle vert - aire de la partie blanche
donc son aire est 2*l*L/3

Le rapport cherché est donc 1/2.

a+

Posté par
franz
re : Challenge n°36** 10-11-04 à 00:19

gagnéBonjour puisea,

si on appelle a la longueur du rectangle et b sa largeur,

chaque triangle blanc reposant sur une longueur a pour aire \frac 1 2 (\frac a 3 \;\frac b 2)=\frac {ab}{12}
chaque triangle blanc reposant sur une largeur a pour aire \frac 1 2 (\frac b 3 \;\frac a 2)=\frac {ab}{12}

L'aire blanche vaut donc 4\frac {ab}{12} = \frac {ab}{3}


L'aire du rectangle valant ab, l'aire grise vaut donc ab -\frac {ab}{3} = 2\frac {ab}{3}

Le rapport de l'aire de la partie blanche sur l'aire de la partie grise vaut donc \frac 1 2


Posté par pinotte (invité)re : Challenge n°36** 10-11-04 à 00:20

gagnéSoit x la largeur du rectangle et y la longueur du rectangle. Il est possible de calculer l'aire de la partie blanche.

Ab = \frac{\frac{y}{3} x \frac{x}{2}}{2} + \frac{\frac{y}{3} x \frac{x}{2}}{2} + \frac{\frac{x}{3} x \frac{y}{2}}{2} + \frac{\frac{x}{3} x \frac{y}{2}}{2}
Ab = \frac{xy}{3}

L'aire du rectangle est de xy.

L'aire de la partie grise est donc de:
Ag= xy - \frac{xy}{3}
Ag= \frac{2xy}{3}

Le quotient est donc de:

\frac{\frac{xy}{3}}{\frac{2xy}{3}} = \frac{1}{2}

On trouve donc un quotient de 1/2.

Posté par TiTan (invité)Solutions du chalenge n°36 10-11-04 à 00:41

Soit l la longueur du petit côté du rectangle et L la longueur du grand côté du rectangle.

Calculons d'abord l'aire de la partie blanche.
L'aire d'un triangle blanc est donné par la formule  :
Base * Hauteur / 2

L'aire d'un triangle " vertical " est : Ll/12
L'aire d'un triangle " horizontal " est : lL/12

Ils sont quatre triangles à avoir la même aire ( commutativité du produit de réels )
Donc l'aire de la partie blanche est 4*Ll/12 = L*l/3

Le rectangle est divisé seulement en ces deux parties, donc l'aire de la partie grise est l'aire du rectangle moins l'aire de la partie blanche,
donc Ll - Ll/3
donc 2Ll/3.

Finalement, le quotient de l'aire de partie blanche sur l'aire de la partie grisée vaut 1/2.

Le résultat semblant concorder avec la figure ( la partie blanche semble bien occuper la moitié de celle occupée par la partie grise ), le résultat apparaît comme satisfaisant,
donc ma réponse est 1/2.

Posté par
siOk
re : Challenge n°36** 10-11-04 à 14:17

perduBonjour

1/2

Posté par
Ptit_belge
Réponse au challenge N°36 10-11-04 à 15:59

gagnéBonjour,

Voici ma réponse:

Soient L et l respectivement la longueur et la largeur du rectangle vert.

L'aire des triangles qui ont leur base sur les longueurs du rectangle vaut (L/3)*(l/2), soit L*l/6

L'aire des triangles qui ont leur base sur les largeurs du rectangle vaut (l/3)*(L/2), soit L*l/6

L'aire de la surface blanche est la somme des 2 aires précédentes. Elle vaut donc L*l/3

L'aire de la surface grise est égale à l'aire du rectangle vert moins l'aire de la surface blanche. Elle vaut donc L*l - L*l/3, soit 2*L*l/3

Le rapport "aire de la surface blanche/aire de la surface grise" est donc 1/2

Bonne soirée

Posté par mizoun (invité)reponse 10-11-04 à 17:03

gagnésoit un rectangle de longueur a et de largeur b
Aireblanche=(a/3)x(b/2)+(b/3)x(a/2)=ab/6+ab/6=ab/3
Airetotale=axb
Airegrise=Airetotale-Aireblanche=(axb)-(ab/3)=2ab/3
Aireblanche/Airegrise=(ab/3)/(2ab/3)=1/2

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°36** 10-11-04 à 17:19

Bravo à tous ceux qui ont pris la peine de participer à cette énigme, la réponse attendue était 1/2 avec les explications permettant d'arriver à ce résultat...

Siok, je ne t'ai pas mis de smiley pour la bonne et simple raison que tu ne m'a pas donné d'explications à ton résultat comme le demandait explicitement l'ennoncé :
"Réponse formulée et argumentée recquise..."

Prochaine énigme dans un instant...

Posté par
siOk
re : Challenge n°36** 10-11-04 à 18:55

perdu"Siok, je ne t'ai pas mis de smiley" : tu as eu bien raison !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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