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Niveau 3 *
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Challenge n°46 (niveau première)***

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
22-11-04 à 07:55

Bonjour tout le monde, voici l'énigme du jour...
Bonne chance à tous, clôture demain.

Challenge n°46 (niveau première)

Posté par
franz
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 22-11-04 à 10:19

gagné \forall x \in {\mathbb R}, \; \sin \( \frac \pi 2 \cos x\) = \cos \( \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x\)
On cherche à résoudre

 \; \cos \( \frac \pi 2 \sin x\) = \cos \( \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x\)
 \Longleftrightarrow \; \{ \frac \pi 2 \sin x \eq \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x \;\; \[2\pi\]\ \;\; \rm{ou} \\ -\frac \pi 2 \sin x \eq \frac \pi 2 - \frac \pi 2 \cos x \;\; \[2\pi\]

 \Longleftrightarrow \; \{ \cos x + \sin x \eq 1 \;\; \[4\] \ \;\; \rm{ou} \\ \cos x - \sin x \eq 1\;\; \[4\]

 \Longleftrightarrow \; \{ \cos x + \sin x = 1 \ \;\; \rm{ou} \\ \cos x - \sin x = 1
 \Longleftrightarrow \; \{ \sqrt 2 \( \cos x \cos \frac \pi 4 + \sin x \sin \frac \pi 4 \)= 1 \ \;\; \rm{ou} \\ \sqrt 2 \( \cos x \cos \frac \pi 4 - \sin x \sin \frac \pi 4 \)= 1
 \Longleftrightarrow \; \{ \cos \(x - \frac \pi 4 \) = \cos \frac \pi 4 \;\; \rm{ou} \\ \cos \(x + \frac \pi 4 \) = \cos \frac \pi 4

 \Longleftrightarrow \; \{ x - \frac \pi 4 \eq \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x - \frac \pi 4 \eq - \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x + \frac \pi 4 \eq \frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]\;\; \rm{ou} \\ x + \frac \pi 4 \eq -\frac \pi 4 \;\; \[2\pi\]


 \Longleftrightarrow \; \large \{ x = \frac \pi 2 + 2 k \pi \;\; \rm{ou} \\ x = 2 k \pi \;\; \rm{ou} \\ x = -\frac \pi 2 + 2 k \pi \;\;  , \;\;\;\;k \in {\mathbb Z}


Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 22-11-04 à 18:13

perduS={2*k*\pi,\frac{\pi}{2}+k*\pi,\frac{-\pi}{2}+k*\pi} avec k
Voilà
A plus

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 22-11-04 à 22:11

gagnéLa fonction f(x)= sin (/2cos x)-cos(/2sin x)est 2périodique et paire.
L'intervalle d'étude peut être limité à [0,].

sin (/2cos x)=cos(/2sin x)
soit sin (/2cos x)=sin(/2-/2sin x)  (1)
soit sin (/2cos x)=sin(/2+/2sin x)  (2)
(1) donne cos(x-/4)=cos(/4)x=/2 sur [0,].
(2) donne cos(x+/4)=cos(/4)x=0 sur [0,].
Par symétrie liée à la parité de f(x), la valeur x=-/2 est également solution.

Donc en conclusion, les solutions sont :
x=0 (2) et
x=/2 ()

Posté par
Ksilver
un bon niveaux premier deja... 22-11-04 à 22:15

gagnébonjour !

alors :

cos (pi/2 *sin x) peut s'ecrire sin (pi/2 - pi/2 * sin x)

donc

sin (pi/2*cos x) = sin ( pi/2 - pi/2 * sin x)

les arg etant dans les bons intervals on peu dire que :
pi/2*cos x = pi/2 - pi/2 * sin x     donc avec x compris entre 2kpi et 2kpi+pi, ou k est un entier relatif, comme sa sin x est positif et pi/2 -pi/2 * sin x depasse pas pi/2 donc on reste dans le bonne intervalle pour dire que :
pi/2*cos x = pi/2 - pi/2 * sin x
cos x = 1 - sin x
cos x + sin x = 1

et la les solution (que tous eleve de 1er connait par coeur... ou pas en fais) sont x= 2 K pi ou x = 2K pi + pi/2 avec K entier relatif evidement...

apres on fais le meme raisonement avec x compris entre 2Kpi + pi et 2(k+1) pi et sa rajoute un nouveaux groupe de solution, les 3pi/2 + 2Kpi (exactement le meme raisonement, en changeant un peu les signe et les coef)

sa fais que les solution sont 2kpi, 2kpi+pi/2 et 2 kpi +2pi/2 pour tous K entier relatif...

bon j'ai ete un peu rapide sur le raisonement mais l'essentiel y est...

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 22-11-04 à 22:28

gagnéBonsoir,

sin(\frac{\pi}{2}cos(x))=cos(\frac{\pi}{2}sin(x))

<--> sin(\frac{\pi}{2}cos(x))=sin(\frac{\pi}{2}sin(x)+\frac{\pi}{2})

<--> \frac{\pi}{2}cos(x)=\frac{\pi}{2}(sin(x)+1)[2\pi] ou \frac{\pi}{2}cos(x)=\pi-\frac{\pi}{2}(sin(x)+1)[2\pi]

<--> cos(x)=sin(x)+1[4] ou cos(x)=1-sin(x)[4]

<--> cos(x)-sin(x)=1[4] ou cos(x)+sin(x)=1[4]

<--> \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x))=1[4] ou \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x))=1[4]

<--> \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})cos(x)-sin(\frac{\pi}{4})sin(x))=1[4] ou \sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})cos(x)+sin(\frac{\pi}{4})sin(x))=1[4]

<--> \sqrt{2}cos(x+\frac{\pi}{4})=1[4] ou \sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=1[4]

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}] ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}]

or pout tout y réel, -1\le cos(y)\le 1

d'où cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}] ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[2\sqrt{2}]

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} ou cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}

<--> cos(x+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4}) ou cos(x-\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})

<--> x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}[2\pi] ou x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}[2\pi]

<--> x=0[2\pi] ou x=-\frac{\pi}{2}[2\pi] ou x=\frac{\pi}{2}[2\pi]

Conclusion :

S=2\pi\mathbb{Z}\cup({\frac{\pi}{2}}+\pi\mathbb{Z})

Salut

Posté par juliannem (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 11:45

perduBonjour, alors ma réponse pour x est x =-Phy ou x = Phy
Cos (Phy/2 sin x ) = 0*sinx
Sin (phy/2 cos x)= cos x donc cos x = 0 x= Phy ou x= -Phy

Posté par ketacola (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 18:12

perdux = 0

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 20:39

Merci à tous de votre participation, la ou plutot LES bonnes réponses étaient celle formulées très correctement par dad97 et franz.

A bientôt --> prochaine énigme ce soir.

Voici une correction détaillée de l'exercice :

Challenge n°46 (niveau première)

Posté par
Ksilver
? 23-11-04 à 20:48

gagnésauf erreur de ma part, les solution donné par gilbert et la mienne sont juste il me semble...

Posté par
Ksilver
en fais 23-11-04 à 20:49

gagnénon la mienne est pas juste j'ai fais une faute de frape en l'ecrivant a la fin... (j'ai tapé 2pi/2 ou lieu du 3pi/2 qui aurait ete juste...)

mais celle qu'a mis gilbert est juste il me semble.

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 20:50

gagnéJe confirme !! Merci Ksilver..

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 20:57

gagné pourquoi une telle poissonnerie

je pense que les solutions de Clemclem (même si il y a des doublets dans l'expression de la solution qu'il propose)

les solutions de Ksilver (mis à part dans sa conclusion où il y a un 2 qui s'est malheureusement collé mais la ligne au dessus prouve que c'est simplement une erreur de frappe)

les solutions de Gilbert (où tu aurais peut être préféré voir des crochets plutôt que des parenthèses pour signifier le modulo)

sont tout à fait recevable (j'ai pas regardé leurs raisonnements mais leurs résultast sont corrects)

Salut

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 21:21

Alors, j'ai refusé la réponse de Gilbert pour la raison suivante :

J'attendais trois solutions, il ne m'en a donné que deux, donc sauf erreur de ma part il manque une solution...

J'ai refusé la réponse de clemclem pour la raison suivante :

Il donne comme réponse pi/2 + kpi alors que c'est pi/2 + 2kpi, idem pour l'autre... Sinon il avait bon pour la première solution étant : 2kpi.

J'ai refusé la réponse de Ksilver pour la raison suivante :

Je suis resté sur la conclusion principalement, je n'ai que survolé le développement, je n'avauis donc pas vu que tu avais fait une faute de frappe, ceci étant dis, je vais te mettre un smiley

Voila, j'espère avoir fait les bons choix cette fois-ci ?

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 21:28

gagnéJe suis désolé de contester .
Mes solutions sont bien x = 0  modulo 2 et x= /2 modulo

Posté par
dad97 Correcteur
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 21:32

gagnéeuh j'ai donné la même réponse que Gilbert

en effet on pouvait donner que deux réponses en rassemblant les cas (\frac{\pi}{2}+2k\pi ou -\frac{\pi}{2}+2k\pi) en \frac{\pi}{2}+k\pi

salut

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 21:34

toutes mes excuses gilbert, je te mets de suite un smiley...

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°46 (niveau première)*** 23-11-04 à 21:40

gagnéMerci beaucoup puisea ;;;;

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 16:51:26.
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