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Niveau 1 *
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Challenge n°74*

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
19-02-05 à 10:11

Bonjour, nouvelle énigme.

En jouant avec ses billes, P'tit Louis formes des triangles équilatéraux. Ainsi, il fait le plus petit triangle possible avec trois billes. Ensuite, il lui faut six billes pour faire un triangle juste un peu plus grand, puis 10, puis 15. Combien de billes lui faudra-t-il pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté ?

Challenge n°74

Bonne chance à tous.
Clôture mardi.

Posté par
isisstruiss
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 10:22

gagnéS'il a mis n billes sur le côté, il a dû utiliser en tout
n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1 billes, c'est à dire \frac{n(n+1)}{2}.

S'il a 2005 billes sur le côté, il y a clairement \frac{2005\cdot2006}{2}=2011015 billes dans le triangle.

Isis

Posté par
Nofutur2
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 10:25

gagnéPour faire un triangle de 2 billes , il faut : 2+1 billes
Pour faire un triangle de 3 billes , il faut : 3+2+1 billes
Pour faire un triangle de 4 billes , il faut : 4+3+2+1 billes

etc..
Pour faire un triagle de 2005 billes , il faut : 2005+2004+...2+1 billes = 2005*1003
Soit 2 011 015 billes

Posté par instinct (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 10:29

gagnéOn remarque vite que pour faire un triangle de côté n , il faut 1+2+3+4...+n billes soit n*(n+1)/2.
pour n=2005, cela donne 2005*2006/2 = 2005*1003 = 2 011 015 billes     Soit un gros gros sac ...!

Posté par ametist (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 10:44

gagnéC'est la somme de i de 1 à N, elle vaut n(n+1)/2
pour 4 : 4*5/2 = 10
pour 2005 : 2005*2006/2 = 2011015

Posté par
manpower
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 11:00

gagnéLe joueur de billes ne se prénommerait-il pas plutôt Pascal ?

Soit (Un)n la suite définie par U1=1 et la relation de récurrence, Un+1 = n+1 + Un
U2=2+U1=2+1=3=\sm C^2_3
U3=3+U2=3+3=6=\sm C^2_4
U4=4+U3=4+6=10=\sm C^2_5
U5=5+U4=5+10=15=\sm C^2_6

On a donc Un=\sm C^2_{n+1}
( ce qu'on montre aisément par récurrence, à l'aide de la relation de Pascal \sm C^{p-1}_{n-1}+\sm C^p_{n-1}=\sm C^p_n
soit, dans notre problème, \sm C^{1}_{n+1}+\sm C^2_{n+1}=\sm C^2_{n+2} i.e. n+1 + Un = Un+1 )

Enfin, U2005=\green \sm C^2_{2006}= \frac{2006\times 2005}{2} = \green \rm 2011015.

Conclusion: P'tit Louis aura besoin de la bagatelle de 3$ \rm \red 2011015 billes !

NB: Plus simplement, il suffisait de calculer : 2$\Bigsum_{k=1}^{2005}~k ... mais bon, c'était histoire de varier un peu...




Posté par
Lopez
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 11:01

gagnéil faut 2 011 015 billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté

Posté par gilbert (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 11:15

gagnéPour un triangle de 2005 billes de côté, il faudra à P'tit Louis la bagatelle de 2 011 015 billes !!!.
La question est ... : où va t'il bien pouvoir les trouver.???

Posté par Théo (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 13:08

gagnéSoit N : le nombre de billes nécessaire pour former un triangle équilatéral avec 2005 billes de côté.

N = \sum_{k=1}^{2005} k = \red2011015 billes

Posté par papou_28 (invité)Challenge n°74* 19-02-05 à 13:13

gagnéEn fait si on généralise:
Soit n le nombre de billes formant un côté, il faudra alors :
1+2+3...+n billes pour faire ce triangle équilatéral ayant n billes de côtés.
Or 1+2+....+n = n*(n+1)/2
Vérification
pour n = 2  : il faut 3 billes
Pour n = 3 , il faut 6 billes
Pour n = 4 ; il faut 10 billes
Pour n= 5 il faut 15 billes

Ainsi pour n = 2005, on fait le calcul :
2005*(2005+1) / 2 = 2 011 015
Bilan : il faut 2 011 015 billes pour faire un triangle équilatéral de côté 2005 billes.

Posté par
franz
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 13:15

gagné\Bigsum_{i=1}^n i=\frac {n\,(n+1)} 2

Il faut donc \Large \red \frac{2005\,2006}2=2011015 billes à Ptit Louis

Posté par paysan77 (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 13:52

gagnénombre de bille = somme de 1 juska 2005 = 2011015
car dans un triagnle de coté 4 il y a 1 + 2 + 3 + 4 bille soit 10 = 4 * 4+1/2
dc 2005*2006*2 = 2011015

Posté par PolytechMars (invité)L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw 19-02-05 à 14:30

gagnéBonjour a tous,
Considerons une suite arithmétique u_n de premier terme u_1=1 et de raison 1.
On veut un triangle equilatéral de coté égal à 2005 billes d'où u_{2005}=2005.
Il suffit alors de calculer S_{2005} :

S_{2005}=\frac{2005*(1+2005)}{2} = 2011015

Donc P'tit Louis aura besoin de 2011015 billes pour realiser ce triangle et j'espere qu'il aura du fromage en récompense.. Trop d'humour tue l'humour..lol

Bonnes mathématiques...

Miaouw L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw

Posté par emoragik (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 14:47

gagnésoit la suite I1=1
              I2=2+I1
              I3=3+I2
              .....
              In=n+I(n-1)

on a donc I2005 = 2011015

Posté par pietro (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 14:57

réponse de Kid Paddle

Challenge n°74

Posté par DivXworld (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 16:35

gagné2005*E((2005+1)/2)=2005*1003=2011015

il faudra donc 2 011 015 billes

Posté par philoux (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 16:41

gagnéBonjour,

Réponse : 2 011 015 billes.

Un trianglede Pascal de n lignes possède n(n+1)/2 billes; avec n=2005, le nombre de billes est ycelui.

Merci pour l'énigme.

Philoux

Question : comment font-on pour écrire en couleur ?

Posté par baribal (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 18:14

perduc'est la somme des entiers naturels de 1 a 2500
je sais pas combien ca fait mais le calcul c'est ca je pense

Posté par
doc_78
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 19:24

gagnéBonjour,
Voici rapidement le calcul :
Triangle de 2 billes de côté : 2+1 billes
Triangle de 3 billes de côté : 3+2+1 billes
Etc, etc … Donc triangle de 2005 billes de côté : 2005+2004+2003+…+1
Soit la somme des 2005 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1,
soit (2005)x(2006) : 2
2011015 BILLES…

Posté par Fabien (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 20:06

\sum_{i=1}^{2005} n = 2011015

Posté par Jman4999 (invité)réponse au challenge numéro 74 19-02-05 à 20:31

perduJ'ai trouvé que la réponse est 1+2+...+2005.Sauf que je n'arrive pas a faire le calcul.
Je suis parvenu a une fonction qui fait ce calcul mais je n'en suis pas sur, soit pour tout x superieur a 0,
f(x)=x(x/2+0.5)
Donc je pense que la réponse est 2.01102 x 10^6.

Posté par
borneo
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 21:30

gagné2011015 billes

Posté par ericbfd (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 21:42

gagnéIl lui faut 2005*2006/2 = 2011015 billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté.

Posté par
laurrre
re : Challenge n°74* 19-02-05 à 23:42

perduje dirais 4 022 028 mais sans grande conviction...

Posté par EmGiPy (invité)re : Challenge n°74* 19-02-05 à 23:58

gagnéHello donc voila je poste ma réponse:

U2=3
U3=6=U2+3=U2+2+1
U4=10=U3+4=U3+3+1=U2+(3+2+1)+1
U5=15=U4+5=U4+4+1=U2+(4+3+2+1)+2
U6=21=U5+6=U5+5+1=U2+(5+4+3+2+1)+3
...

En connaissant (grace au livre pas encore traité) la formule de la somme des p premiers naturels non nuls:

\red\text{1+2+3+...+p} = \frac{p(p+1)}{2}

d'où ma relation:

\green U_{2005} = \frac{2005(2005+1)}{2} = 2011015

Donc pour conclure et répondre au problème, il faudra \blue\text{2011015} billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de cotés!!

J'espère que le qui m'a été remis dans l'épreuve précedente me sera remis cette fois ci a nouveau!!!

++ EmGiPy ++

Posté par jacko78 (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 02:47

gagnéBonjour, nouvelle réponse :
2005 en bas, 2004 au rang supérieur, 2003 encore au-dessus... jusqu'à 1 tout en haut :
TOTAL 2011015 billes

Posté par pinotte (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 04:32

gagnéIl aurait besoin de

(2006 x 2005)/2 billes, ce qui donne 2 011 015 billes!

C'est beaucoup! Hehe

Posté par lolux (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 07:06

gagnéLa réponse est
      
    2011015


Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 11:54

gagnéma voici de retour apres une semaine de vacances au ski ...
j'ai malheuresement raté pas mal d'enigmes il faut vite que je me rattrape
combien de billes ?
je dirai 2005 + 2004 + ... + 2 + 1 = 2005*2006/2 = 2011015

Et voila : 2011015 Billes ... Ca fé pas mal kan meme

Posté par somarine (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 12:05

gagnéBonjour,

Il lui faudra 2011015 billes.

C'est bon?

Posté par paltan (invité)re : Challenge n°74* 20-02-05 à 12:36

gagnéil lui faudra 2 011 015 billes.

Posté par
manu_du_40
re : Challenge n°74* 20-02-05 à 15:25

gagnéJe pense qu'il faut faire la somme de tous les entiers compris entre 1 et 2005 parce que dans chaque ligne de billes du triangle, il ya une bille de moins que celle de la ligne précédente (en partant de la base du triangle) donc :

S=((1+2005)*2005)=2 011 015

Ptit Louis devra gagner 2 011 015 billes. Ben il peut jouer encore longtemps

Posté par supertagada (invité)billes : ma reponse 20-02-05 à 15:46

gagné2011015

Posté par raulic (invité)re : Challenge n°74* 21-02-05 à 08:43

gagnéSi on envisage que le plus petit triangle est composé d'une boule, on a affaire à la somme d'une suite arithmétique de raison 1

Pour faire un triangle de 4 boules de cotés il faut 1+2+3+4 boules

Donc pour faire un trialgle de 2005 boules de coté il faut
1+2+3+4+...+2004+2005

donc la somme S=2005(1+2005)/2=2011015

Il faut donc 2 011 015 billes

Posté par justi (invité)re : Challenge n°74* 21-02-05 à 11:00

perduil y aura 6015 billes

Posté par kyrandia (invité)RE 21-02-05 à 12:55

gagnéLe nombre de billes est égal à la somme d'une suite arithmétique de raison 1, et n est égal au nombre de billes formant un côté.

soit Sn = n*(n+1)/2

avec n=2005 alors S=nombre de billes=2011015

Posté par laurent_clio (invité)challenge en cours 21-02-05 à 15:49

gagnéIl lui faudra: 2011015.

Posté par
Ksilver
re : Challenge n°74* 21-02-05 à 17:50

gagnéon apelle Bn le nombre de bille necesaire a faire un triangle a n bille de coté.
pour augmenter de 1 le nb de bille de cote il faut rajouter une ranger doux :
pour tous n>0
B1=1
Bn+1 = Bn + n+1

on en deduis Bn= 1+2+3+4+5+....+n
Bn=(n+1)*n/2

B2005=2005*2006/2 = 2005*1003 = 2011015

voila avec un peu de chance ma fleme d'aller chercher une calculatrice ne me coutera pas l'enigme hein...

Posté par zineb (invité)bonsoir ! 21-02-05 à 20:16

Pour résoudre l'énigme, on définit une suite (Un) telle que
U1=2005
Un+1= Un-1

lorsqu'on fait un triangle avec des billes de n nombres de côtés, on construit la base du triangle avec n billes, puis la deuxième ligne avec (n-1) et ainsi de suite jusqu'à 1 bille.

Le nombre de billes utilisées pour construire un triangle équilatéral de 2005 billes de côté est donc la somme des 2005 premiers termes de la suite (Un) et donc

S=2005*2006/2
S=2011015

voilà ! en espérant que ce soit juste :p

Posté par MaMaDoU (invité)Réponse 21-02-05 à 21:05

Ma réponse pour l'enigme est

2011015

Posté par Severus (invité)re : Challenge n°74* 21-02-05 à 21:52

Le p'tit Louis aura besoin de \Bigsum_{i=1}^{2005}i=\frac{2005\cdot2006}{2}=2011015 billes.

Posté par mikemikemike (invité)re : Challenge n°74* 22-02-05 à 10:05

gagné2005*2006/2 = 2011015 billes au total

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°74* 22-02-05 à 12:59

Merci à tous pour votre participation, la bonne réponse était 2 011 015.

@+

Posté par
isisstruiss
re : Challenge n°74* 22-02-05 à 13:24

gagnémikemikemike aurait-il été oublié?

Isis

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Challenge n°74* 22-02-05 à 18:44

oups en effet, merci Isis...

Posté par
Equanimus
Vous faites erreur 21-04-15 à 07:46

Bonjour, la formule que vous utilisez: n(n+1)/2 ne va vous donner que le nombre de billes que pour le dernier étage.
La vraie formule pour calculer le nombre total de billes est :
n(n+1)(n+2)/6.
Exemple, pour un tétraèdre de 4 étages, le quatrième étage aura (4*5)/2=10 billes, mais le nombre total de billes sera de (4*5*6)/6= 20.
Donc dans le cas présent, pour 2005 étages on aura (2005*2006*2007)/6= 1 345 369 035 billes !

Posté par
littleguy
re : Challenge n°74* 21-04-15 à 08:30

Bonjour  Equanimus,

Citation :
pour un tétraèdre de 4 étages
Où a-t-il été question de tétraèdre dans cette énigme ?

Posté par
jorkshurtugal
re : Challenge n°74* 19-05-15 à 22:41

2 011 015

car 3+3=6
6+4=10
10+5=15
15+6=21
etc......
Intervention de la calculatrice:D
Ce qui me donne effectivement 2 011 015
:D:):P;)8-)

Posté par
lafol Moderateur
re : Challenge n°74* 20-05-15 à 22:38

l'énigme a été clôturée il y a plus de dix ans

Posté par
ranabacha02
re : Challenge n°74* 22-05-15 à 22:12

Pour faire un triangle de côté n , il faut 1+2+3+4...+n billes soit n*(n+1)/2.
pour n=2005, cela donne 2005*2006/2 = 2005*1003 = 2 011 015 billes    

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Challenge (énigme mathématique) terminé .
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