Yes, j'ai repris ça et en effet comme tu le dis, déterminer la stratégie optimale ce n'est pas se demander combien de cases dois je gratter à fortiori mais bien ai-je intérêt de gratter une case supplémentaire?...
Il est bien évident qu'un gars ayant découvert un "0" ne va pas s'exciter plus longtemps sur l'affaire... De même, si l'on a gratté de telle sorte que l'on se retrouve avec le million...(le million, le million), et bien faudrait être stupide pour en gratter une autre...
Du coup, j'ai fait les calculs et les stratégies optimales s'avère être:
"Gratter une case supplémentaire tant que l'on pas découvert un "0" ou 4 "10" au total".
Et l'on retrouve alors le 85,5%.
Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 0 (i.e on vient de découvrir un "0") ---> stratégie optimale: s'arréter
Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 1, cela veut dire que l'on a pour l'instant gratté m "1" (m compris entre 1 et 9) 0 "0" et 0 "10".
Si l'on gratte une case supplémentaire, l'espérance de gain sera de:
--> décision optimale: on continue de gratter.
Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 10k(k entier compris entre 1 et 5), cela veut dire que l'on a pour l'instant gratté m "1" (m compris entre 0 et 9), 0 "0", et k "10".
Si l'on gratte une case supplémentaire, l'espérance de gain sera de:
Or
La stratégie optimale est donc bien de "gratter une case supplémentaire jusqu'à temps que l'on ait découvert un "0" ou bien 4 "10"".
Reste à déterminer le nombre de façons d'arriver effectivement à 4 "10" sans avoir obtenu de "0".
Le nombre n de grattages pour cela peut varier entre 4 et 13. Le dernier grattage est forcément un "10" et les (n-1) premiers grattages contiennent 3 "10" et (n-4) "1".
D'où une probabilité égale à:
Et une espérance de gain qui vaut:
Le prix du ticket étant fixé à 10€, en utilisant cette stratégie optimale,statistiquement, 85,5% des sommes jouées seront rendues.