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Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale)

Posté par
manpower
15-05-05 à 14:42

Je rebalance le lien au cas où

Bonjour, j'ouvre un nouveau sujet pour ceux qui désirent en discuter et aussi pour avoir quelques confirmations de notre vénérable J-P...

Je passe sur les 14 premières questions qui ne m'ont pas beaucoup embêtées (hier j'étais très optimiste!).
Par contre, pour moi, la suite se gâte sérieusement. Voici, en l'état mon avancement:

Dans l'ordre
15-Telecom:
Je ne vois pas pour l'instant de moyen de déterminer la quatrième arête de la pyramide (surtout sans calculatrice!). Je passe pour l'instant...

16-Cheval de Trois:
A part la dimension finale du triangle et la configuration des sommets, je n'arrive pas à correctement orienter mes tatonnements... la réponse semble trouvable mais la note sur le découpage (horreur!) est quelque peu décourageante. S'il le faut, j'en viendrai aux ciseaux

17-Les Cubes de Rama et Nujean (ou plutôt Ramanujan )
Je trouve facilement la solution minimale : \rm \white 1^3+12^3=9^3+10^3 et à titre indicatif les deux suivantes sont 9^3+15^3=2^3+16^3 et 18^3+20^3=2^3+24^3.
Par contre, j'ai utilisé une feuille excel ! (interdit donc...)
Je ne vois pas comment faire sans (sauf par tatonnements)
On doit avoir avec a<b<c<d, a^3+d^3=b^3+c^3 (par compensation). Mais les deux solutions suivantes me laissent deviner qu'il n'y a ni particularité ni régularité... ?!? Y-a-t-il une méthode ?
D'accord Ramanujan est un célèbre mathématicien indien qui a travaillé sur ce problème (dérivé de fermat) mais je n'en sais guère plus...

18-Qui veut gagner un million ?
Là ça se corse encore... et j'utiliserai volontiers une calculatrice, j'ai du rater quelque chose...
Pour déterminer la stratégie optimale, j'ai besoin de la loi de probabilité pour ensuite en calculer l'espérance.
Il me semble, que pour n cases grattées, on a une probabilité définie par : P_n(X=10^k)=\frac{C_6^k \times C_9^{n-k}}{C_{36}^n} (k\in[[0,n]])
Ce qui donne 15 calculs d'espérance (de gains), avec E_n(X)=\Bigsum_{k=0}^{n}~10^k\frac{C_6^k \times C_9^{n-k}}{C_{36}^n} pour n variant de 1 à 15 (que je rechigne pour l'instant à faire).
Le titre laisse entrevoir que la stratégie optimale consiste à gratter 6 cases... mais comment le prouver sans passer par là ?

Voilà!

Question à J-P: Il me semble que cette phase s'est déroulée par courrier... donc l'utilisation de la calculatrice n'a pu être interdit ? As-tu une solution sans calculatrice à la question 17 ?
Autre chose... heureusement que le temps n'est pas limité dans cette partie, car j'ai déjà mis plus de temps sur ces 4 dernières questions que sur les 14 premières !

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 15-05-05 à 15:55

Salut er

Rien n'empêche d'utiliser les méthodes que l'on veut en 1/4 de finale (puisque fait à domicile), mais si on ne joue pas le jeu de ne pas utiliser des moyens interdits, dans les phases suivantes (1/2 finale et ...) , on aura alors bien du mal devant sa feuille avec comme seules armes, un crayon et une gomme.

Remarque, il n'est pas nécessaire de tout réussir pour se qualifier, mais il faut faire mieux que la bonne moyenne des participants.
Il est rare par exemple de se qualifier pour la finale internationale avec plus d'une erreur.

J'ai jeté (ou perdu ?) mes brouillons pour les exercices mentionnés et je n'ai guère le courage de les refaire, je me rappelle seulement avoir eu besoin de plusieurs pages de calculs pour le 18 et comme je ne suis pas maso, j'ai sûrement utilisé ma calculette au lieu de faire les calculs manuellement.
Je n'ai pas dans mon souvenir d'avoir vraiment séché sur un autre des problèmes, si ce n'est sur le cheval à découper, je n'aime pas non plus ce genre d'exercices.






Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 15-05-05 à 16:03

J'ai voulu écrire:

Salut manpower

...



Posté par jayrhum (invité)re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 15-05-05 à 17:28

Salut,

Je me suis penché sur le 18.

On a donc 36 cases.
6 valant 10.
9 valant 1.
21 valant 0.

On gratte le nombre de cases que l'on souhaite et l'on calcule son gain en multipliant entre eux les chiffres apparus.

Le but est de déterminer la stratégie optimale pour ce jeu, à savoir le nombre n de cases à gratter pour laquelle l'espérance de gains est la plus forte.

Première remarque: Il serait stupide de gratter plus de 15 cases puisqu'à coup sûr, notre gain serait de 0.
Donc n\le15

Quels sont les gains possibles à ce jeu? Et bien soit 0 ou soit 10k avec k entier naturel compris entre 0 et 6.

Il s'agit donc de déterminer la probabilité de gagner 10k sachant qu'on a gratté n cases.
La probabilité de gagner 0 n'a pas lieu d'être déterminée puisqu'elle n'interviendra pas dans l'espérance de gain.

On gratte n cases, soit X la v.a du gain, on a:

P(X=10^k)=\frac{\(n-k\\9\)\(k\\6\)}{\(n\\36\)}

Nombres de grilles possibles ---> \(n\\36\)
Il nous faut choisir k cases parmi les 6 contenant "10" --> \(k\\6\)
Et compléter par (n-k) cases parmi les 9 contenant "1" ---> \(n-k\\9\)

Au passage si m > n ou m 0 alors \(m\\n\)=0

L'espérance du gain en fonction du nombre n de cases grattées vaut donc:

f(n)=\sum_{k=0}^6 \frac{\(n-k\\9\)\(k\\6\)10^k}{\(n\\36\)}

Et là j'ai un souci, car je trouve que la stratégie optimale est de gratter 5 cases correspondant à une espérance de gains maximale de 7.437... ce qui signifierait que si chaque participant utilisait cette stratégie, statistiquement, 74,37% des sommes jouées seraient rendues.

Or dans la correction, la réponse mentionnée est de 85,5%...

Posté par jayrhum (invité)re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 15-05-05 à 17:31

En fait je n'avais pas lu ce que tu avais écrit manpower. (pensant que tu donnais les solutions )
Poua du coup, ça m'ennuie cette affaire...

Posté par jayrhum (invité)re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 15-05-05 à 17:42

Y'a une faute de frappe... Il faut lire:
"Au passage, si m>n ou m<0 alors \(m\\n\)=0"

Posté par
manpower
re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 16-05-05 à 09:25

Bonjour jayrhum,
pour ce problème 18, muni de ma vieille casio, je confirme tes calculs avec cette loi, l'espérance étant maximale pour 5 cases grattées et valant environ 7,437€ pour 10€...

Le problème c'est que nous avons commis la même erreur dans l'interprétation de la stratégie optimale et donc la modélisation.
Il me semble qu'en réalité il faut raisonner avec des probabilités conditionnelles.
En effet, les grattages sont succéssifs et non simultanés... du coup, par exemple, si un joueur gratte 4 cases à 10€ grattera-t-il la 5ème ? Quelles sont les probabilités et les espérances de gains, sachant qu'il a déjà (potentiellement) gagné 10 000€ ?
Pour cet exemple, (même notation qu'avant sans alourdir encore avec les conditionnelles) on a :
P_5(X=100000)=\frac{2}{32}, P_5(X=10000)=\frac{9}{32} et P_5(X=0)=\frac{21}{32} (forte probabilité de tout perdre).
L'espérance de gain est de : E_5(X)=100000 \times \frac{2}{32}+ 10000 \times \frac{9}{32}=9062,5<10000 donc le joueur s'arrête de gratter à la 4ème case!

Reste à tout formaliser pour effectivement trouver 85,5%.

Posté par jayrhum (invité)re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 16-05-05 à 11:47

Yes, j'ai repris ça et en effet comme tu le dis, déterminer la stratégie optimale ce n'est pas se demander combien de cases dois je gratter à fortiori mais bien ai-je intérêt de gratter une case supplémentaire?...
Il est bien évident qu'un gars ayant découvert un "0" ne va pas s'exciter plus longtemps sur l'affaire... De même, si l'on a gratté de telle sorte que l'on se retrouve avec le million...(le million, le million), et bien faudrait être stupide pour en gratter une autre...
Du coup, j'ai fait les calculs et les stratégies optimales s'avère être:
"Gratter une case supplémentaire tant que l'on pas découvert un "0" ou 4 "10" au total".
Et l'on retrouve alors le 85,5%.

Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 0 (i.e on vient de découvrir un "0") ---> stratégie optimale: s'arréter

Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 1, cela veut dire que l'on a pour l'instant gratté m "1" (m compris entre 1 et 9) 0 "0" et 0 "10".
Si l'on gratte une case supplémentaire, l'espérance de gain sera de:
\frac{9-m}{36-m}+\frac{6}{36-m}\times10 = \frac{69-m}{36-m} = 1+\frac{33}{36-m}\g1 --> décision optimale: on continue de gratter.

Si à un moment quelconque du processus de grattage, notre gain est de 10k(k entier compris entre 1 et 5), cela veut dire que l'on a pour l'instant gratté m "1" (m compris entre 0 et 9), 0 "0", et k "10".
Si l'on gratte une case supplémentaire, l'espérance de gain sera de:
(\frac{9-m}{36-m-k}+\frac{6-k}{36-m-k}\times10)\times10^k
(\frac{9-m}{36-m-k}+\frac{6-k}{36-m-k}\times10)=\frac{69-m-10k}{36-m-k}=1+\frac{33-9k}{36-m-k}

Or 1+\frac{33-9k}{36-m-k}>1 \Longleftrightarrow k<4

La stratégie optimale est donc bien de "gratter une case supplémentaire jusqu'à temps que l'on ait découvert un "0" ou bien 4 "10"".

Reste à déterminer le nombre de façons d'arriver effectivement à 4 "10" sans avoir obtenu de "0".
Le nombre n de grattages pour cela peut varier entre 4 et 13. Le dernier grattage est forcément un "10" et les (n-1) premiers grattages contiennent 3 "10" et (n-4) "1".

D'où une probabilité égale à: \frac{(n-1)!C_6^3C_9^{13-n}C_3^1}{A_{36}^n}=\frac{C_6^3C_9^{13-n}C_3^1}{nC_{36}^n}

Et une espérance de gain qui vaut:
E(gain)=10000\sum_{n=4}^{13}\frac{C_6^3C_9^{13-n}C_3^1}{nC_{36}^n}=\frac{10000}{1170}=8,547

Le prix du ticket étant fixé à 10€, en utilisant cette stratégie optimale,statistiquement, 85,5% des sommes jouées seront rendues.

Posté par
manpower
re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 16-05-05 à 14:34

C'est propre et tu arrives au résultat escompté.
Sans la réponse finale nous nous serions tout de même plantés tous les deux, mais bon... on ne va pas chipoter.
Par ailleurs, vu la rentabilité du jeu, on comprends pourquoi la Française Des Jeux ne l'a pas adopté...

En ce qui me concerne, il me reste donc les questions 14 et 15 (pas retentées depuis). Si certains veulent en discuter, merci de cacher vos réponses et le résultat.
Et je cherche toujours, si possible, une méthode pour venir à bout du 17 sans calculatrice (facile avec). Une idée ?

Posté par jayrhum (invité)re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 16-05-05 à 23:48

Poua moi je suis la française des jeux, je le commercialise direct ce jeu...
C'est voler des sucettes aux enfants...
Pour les autres, j'ai décidé de pas regarder... c'est des coups à mal dormir ça
Bon courage.

Posté par
manpower
re : Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale) 18-05-05 à 20:31

Finalement le 14 se fait en deux coups de cuillère-à-pot, une fois qu'on a la bonne idée...
Et effectivement, sans calculatrice, en à peine 1 minute !! (si, si! et même accessible dès la classe de 4ème !).
Le tout était de trouver l'idée...

J'ai l'impression que ces énigmes ne déchaînent pas les passions , mais bpn voici, en image, l'idée (issue du théorème de Pythagore):

\rm d=sqrt{a^2+b^2+c^2} (voir figure)

Reste ce satané cheval

Championnat des jeux mathématiques (1/4 de finale)



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