bonjour Master Och

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soit h la hauteur
premier cas : les côtés font tous deux des angles aigus avec la grande base
petite base = 70 - V(10816-h²) -V(2500-h²)
la hauteur est au maximum le plus petit côté 50
la petite base est au maximum 70 - V(10816-2500) - V(2500-2500) = un nombre négatif : impossible
deuxième cas : un côté fait un angle obtus avec la grande base; ce doit être le plus petit
petite base = 70 - V(10816-h²) + V(2500-h²)
si la hauteur n'est pas un nombre entier, sa partie décimale ne peut pas se terminer par 5, car la partie décimale de 10816-h² se terminerait par 75, ce qui est impossible pour un décimal au carré; sinon, elle a au plus deux chiffres décimaux
en posant g = 100 h et en multipliant par 100 la petite base, elle devient :
7000 - V(108160000-g²) - V(25000000-g²), où les racines carrées sont deux nombres entiers
g = 32 fois un nombre dont le carré et le carré d'un autre nombre ont somme 105625
il y a quatorze possibilités pour g, dont une seule (4000) donne V(25000000-g²) entier
h = 40
petite base = 70 - V(10816-1600) + V(2500-1600) = 70-96+30 = 4
aire : (70+4)*40/2 = 1480

Bonjour  plumemeteore

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Bravo c'était le bon résultat !!

Bonjour

Il est temps de poster ma démo qui confirme le résultat de plumemeteore, même si je sais que cette énigme ne semble impressioner personne .
ma demo et basée essentiellement sur le schema si dessous:

Le demi cercle de rayon 104 m présente le domaine de variation de la 2ème extrémité du grand côté autre que les bases.
Le demi cercle de rayon 50 m présente le domaine de variation de la 2ème extrémité du petit côté autre que les bases.
et voilà pour obtenir un trapèze il suffit de tracer une droite parallèle à la grande base et qui coupe la fois les 2 cercles.
les parties achurées de ces cercles sont à illiminer pour les raisons suivantes:

-la partie achurée en rouge est illiminée car aucune droite passant par cette partie et qui est parallèle à la grande base n'aura une intersection avec le petit cercle.

-Prenons maintenant la partie bleu: si on trace une droite passant par ce domaine et qui est parallèle à la grande base on obtiendra une deuxième base plus grande que la premièe ce qui impossible car on est entrain de chercher la petite base.

-Prenons la petite partie achuré en vert: toutes les droites passants par cette partie et qui sont parallèles à la grande base donneront 2 extrémités de la petite base qui impliqueront une intersection entre les 2 côtés autres que les bases ce qui implique l'éllimination de cette partie.

- maintenant tout ce qui reste du grand demi cercle est la partie non achuré, toutes les droites passant par cette partie donneront 2 intersections avec le petit cercle:
   -/la première intersection appartient à la partie achurée en rose et qui ne peut pas être prise en compte car elle implique une intersection entre les 2 côtés autres que les base.
   -/la 2éme partie est bien valable.

ce qui réduit enfin le domaine de variation des 2 extrémités dans les parties non achurés de la figure.

passons maintenant au calcul:
(70+d)² + h² = 104² = 10 816 ==> 140d + d² + h² = 5916 (1)

(b+d)² + h² = 50² = 2500 ==> b² + 2bd + d² + h² = 2500 (2)

(1)-(2) donne 140d - 2bd - b² = 3416 ==> d = (3416 + b²)/(140 - 2b)(3)

(1) donne h = V(5916 - 140d - d²) (4)

et voilà en utilisant les 2 équations (3) et (4) et en remplaçant b par des valeurs entre 1 et 15 on trouvera que seul b=4m aboutira à un aire (= (b+d).h/2) entier.

faute d'inattention l'aire du trapèze est égale à (70+b).h/2 au lien de (b+d).h/2