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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Changement de base

Posté par
Hola10
14-10-18 à 12:49

Bonjour, je bloque un peu sur un exercice dont je vous met l'énoncé :

On considère la matrice M = 1    0   1   0
                                                               -1   2    0   1
                                                                1    0    1   0
                                                                1    0    2   -1

et on note f l'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est M. On considère également les vecteurs u1 = (1,1,0,0), u2 = (0,0,1,1), u3 = (0,1,0,0) et u4 = (0,0,0,1). On note B la famille (u1, u2, u3, u4).

1. Montrer que B est une base de R4.
2. Déterminer les matrices de changement de base de la base canonique vers la base B et de la base B vers la base canonique.
3. Montrer que E=Vect(u1, u2) et F=Vect(u3, u4) sont des plans de R4 qui sont stables par f c'est à dire qui vérifient : pour tout v E, f(v) E et pour tout W F, f(w) F.
4. En utilisant la formule de changement de base, déterminer la matrice de f dans la base B.
5. Comment "lit-on" sur cette matrice que E et F sont stables par f ?
6. Calculer le déterminant et la trace de f.

J'ai déjà fait les questions 1 à 3 et je suis bloquée ensuite.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
lafol Moderateur
re : Changement de base 14-10-18 à 15:13

Bonjour
tu as déjà fait 1 à 6, fort bien. ça ne te vient pas à l'idée que els matrices du 2 pourraient servir par la suite ? et donc de les marquer ici pour qu'on puisse les vérifier ?
Par ailleurs, la question 4 est une question de cours ....

Posté par
Hola10
re : Changement de base 14-10-18 à 16:34

J'ai trouvé PCB = 1  0  0  0
                                                               1  0  1  0
                                                               0  1  0  0
                                                               0  1  0  1

Et P BC = 1  0  0  0
                                              0  0  1  0
                                            -1  1  0  0
                                              0  0 -1  1

Je connais la formule du changement de base : MB(f) = PBC MC(f) PCB

Posté par
Hola10
re : Changement de base 14-10-18 à 16:51

Je pense avoir réussi également à trouver MB(f) = 1  1  0  0
                    1  1  0  0
                    0  0  2  1
                    0  0  0  -1

Cela me semble cohérent au vu de mes résultats à la question 3.
C'est maintenant sur la question 6 que je bloque

Posté par
lafol Moderateur
re : Changement de base 14-10-18 à 22:07

tu as dû voir en classe des trucs sur les matrices "par blocs", non ? si oui, c'est le moment de les relire !



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