Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Changement de lois

Posté par
Theo92 20-02-21 à 18:46

Bonjour,
je bloque sur la détermination des fonctions de répartition et la densité de la variable aléatoire Y=ln(X) quand X est la loi exponentielle de paramètre \lambda.

J'ai les fonctions de répartition et densité de X, mais pas la méthode pour trouver celles de Y.

Par ailleurs, j'ai réussi à trouver la loi de la variable aléatoire V=[X], soit la partie entière de X. Je trouve que P(V=n)=\exp(- \lambda n)*(1- \exp(-\lambda))

Je me retrouve avec les mêmes difficultés si on pose W=exp(V) pour calculer l'espérance de W , ie les valeurs de \lambda pour lesquelles elle existe.

Je vous remercie pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par
carpediemre : Changement de lois 20-02-21 à 19:58

salut

pour tout réel r P(Y <= r) = P(ln X <= r) = P(X <= e^r) = ...

il suffit de considérer différents cas suivant la valeur de r ... éventuellement ...

Posté par
Theo92re : Changement de lois 20-02-21 à 21:03

Bonsoir et merci Carpediem.

On a donc avec F=1- e^{-\lambda x} la répartition : F_{Y}(x)=P(Y \leq x) = P(ln(X) \leq x) = P(X \leq e^x) = 1 - e^{\lambda e^x}.

Par dérivation, on trouve f_Y(x) = \lambda e^x (-e^{\lambda e^x}) = -\lambda e^{x(1+ \lambda)}
Est-ce juste? A discuter selon les valeurs de x.....

Pour W, la loi de V est géométrique de paramètre   e^{- \lambda}.  fait-on le même raisonnement en passant la loi par l'exponentielle?

Posté par
carpediemre : Changement de lois 21-02-21 à 10:04

oui mais i faudrait discuter avant pour distinguer deux cas : car la loi exponentielle est définie sur [0, +oo[ il me semble ...

pour V c'est pareil ... en adaptant puisque V ne prend que des valeurs entières ...

P(V = n) = P(n <= X < n + 1) = ...

puis P(W <= x) = ....

Posté par
Ulmierere : Changement de lois 21-02-21 à 12:13

Non, il y a une erreur dans le calcul de ta dérivée. Dans l'exponentielle, c'est x+\lambda e^x et non x(\lambda+1).
Tu peux aussi abandonner le signe \leqslant dans le calcul de P(V=n) (ou au contraire le signe <) parce que exp est une loi diffuse.
Et pour W, attention en prenant le log de x (et de W aussi d'ailleurs).
Et n\leqslant x \Leftrightarrow n\leqslant \lfloor x\rfloor,\qquad \forall (n,x)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R}

Posté par
Theo92re : Changement de lois 21-02-21 à 21:17

Merci à vous deux.
J'ai rectifié mes erreurs de calculs, et bien défini les domaines des fonction de répartition et densité.
Je vous souhaite une bonne soirée.

Posté par
carpediemre : Changement de lois 21-02-21 à 22:21

merci et à toi aussi


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !