Bonjour
Je suis bloqué sur l'exercice suivant :
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé xOy, la courbe C a pour équation
ax² + 2 bxy + cy² + k = 0
On suppose b² - ac 0
1/ Former l'équation de C dans le repère XOY déduit du premier par rotation de centre O, d'angle tel que : (1)
2/ Que peut-on dire des nouveaux axes pour la courbe C ?
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J'ai utilisé les formules de changement de repère par rotation sans changement d'origine :
x = X cos - Y sin
y = X sin + Y cos
En remplaçant x et y par ces valeurs et en me servant de (1), je suis parvenu à éliminer le terme en xy et j'arrive à :
(a cos² + b sin 2 + c sin² ).X² + (a sin² - b sin 2 + c cos² ).Y² + k = 0
Je pense/ suis persuadé qu'on doit pouvoir aboutir à une écriture plus simple, mais :
- je ne vois pas comment utiliser la relation trigo de base : sin ² + cos ² = 1 qui pourrait aider à simplifier
- je ne me suis pas servi de : b² - ac 0
et là je suis bloqué.
Pouvez-vous m'expliquer comment m'en sortir svp ?
Merci par avance
Bonsoir !
Tu devrais commencer par voir ce que tu fais pour .
Utiliser les relations
pour trouver les coefficients de en fonction de .
A mon avis, lorsque tu verras disparaître soit soit .
Bonjour
d'après mes essais, il semble que l'équation de la courbe soit celle d'une ellipse, et qu'après rotation des axes selon la condition fixée sur l'angle de rotation, les nouveaux axes soient les axes de symétrie (focal et non focal) de l'ellipse.
Conclusion obtenue par tâtonnements empiriques !
C'est quoi une conclusion par tâtonnements empiriques ?
Juste avec ce n'est pas forcément une ellipse (par exemple le cas correspond à une hyperbole).
Tu devrais trouver une expression de la forme et il faut discuter selon le signe de .
Si : hyperbole.
Si de même signe : ellipse imaginaire (ensemble vide)
Si : ellipse , éventuellement réduite à un point
Bonjour !
J'ai finalement trouvé plus simple d'opérer ainsi :
Alors
et finalement . On retrouve le déterminant et la trace de la matrice initiale
sont donc racines de l'équation dont le discriminant est justement (il n'y a pas de miracle).
Les études de signe deviennent faciles et on retrouve un résultat connu.
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