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Changement de repère pour une conique

Posté par
pppa
04-10-16 à 16:53

Bonjour

Je suis bloqué sur l'exercice suivant :

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé xOy, la courbe C a pour équation

ax² + 2 bxy + cy² + k = 0

On suppose b² - ac 0

1/ Former l'équation de C dans le repère XOY déduit du premier par rotation de centre O, d'angle tel que : \tan 2\theta = \dfrac{2b}{a - c} (1)

2/ Que peut-on dire des nouveaux axes pour la courbe C ?

                                                       ---------------------------------------------

J'ai utilisé les formules de changement de repère par rotation sans changement d'origine :

x = X cos - Y sin

y = X sin + Y cos

En remplaçant x et y par ces valeurs et en me servant  de (1), je suis parvenu à éliminer le terme en xy et j'arrive à :

(a cos² + b sin 2 + c sin² ).X² + (a sin² - b sin 2 + c cos² ).Y² + k = 0

Je pense/ suis persuadé qu'on doit pouvoir aboutir à une écriture plus simple, mais :
- je ne vois pas comment utiliser la relation trigo de base : sin ² + cos ² = 1 qui pourrait aider à simplifier
- je ne me suis pas servi de :  b² - ac 0

et là je suis bloqué.

Pouvez-vous m'expliquer comment m'en sortir svp ?

Merci par avance

Posté par
luzak
re : Changement de repère pour une conique 04-10-16 à 23:42

Bonsoir !
Tu devrais commencer par voir ce que tu fais pour a-c=0.
Utiliser les relations
\cos^2\theta=\dfrac12(1+\cos(2\theta)),\;\sin^2\theta=\dfrac12(1-\sin(2\theta)) pour trouver les coefficients de X^2,\;Y^2 en fonction de a,b,c.

A mon avis, lorsque b^2-ac=0 tu verras disparaître soit X soit Y.

Posté par
vham
re : Changement de repère pour une conique 05-10-16 à 07:21

Bonjour luzak,

petite erreur de frappe sans doute :  sin^2(\theta)=\frac{1}{2} (1-cos(2\theta))   et non sin(2\theta)

Posté par
luzak
re : Changement de repère pour une conique 05-10-16 à 09:18

Bonjour et merci pour la correction !

Posté par
pppa
re : Changement de repère pour une conique 06-10-16 à 17:41

Bonjour

d'après mes essais, il semble que l'équation de la courbe soit celle d'une ellipse, et qu'après rotation des axes selon la condition fixée sur l'angle de rotation, les nouveaux axes soient les axes de symétrie (focal et non focal) de l'ellipse.

Conclusion obtenue par tâtonnements empiriques !

Posté par
luzak
re : Changement de repère pour une conique 06-10-16 à 18:28

C'est quoi une conclusion par tâtonnements empiriques ?

Juste avec b^2-ac\neq0 ce n'est pas forcément une ellipse (par exemple le cas a=-c=1,\;b=0 correspond à une hyperbole).
Tu devrais trouver une expression de la forme \alpha X^2+\beta Y^2=\gamma,\;\alpha\beta=b^2-ac\neq0 et il faut discuter selon le signe de \alpha,\beta,\gamma.
Si \alpha\beta<0 :  hyperbole.
Si \alpha,\beta,\gamma de même signe : ellipse imaginaire (ensemble vide)
Si \alpha\beta>0,\;\alpha\gamma\leqslant0 : ellipse , éventuellement réduite à un point

Posté par
pppa
re : Changement de repère pour une conique 06-10-16 à 18:32

Merci pour ces précisions
je vais approfondir à partir de celles-ci

Cdt

Posté par
luzak
re : Changement de repère pour une conique 07-10-16 à 17:46

Bonjour !
J'ai finalement trouvé plus simple d'opérer ainsi :
\Delta=4b^2+(a-c)^2
u=\cos(2\theta),\;u^2=\dfrac1{1+\tan^2(2\theta)}=\dfrac{(a-c)^2}{\Delta}
v=\sin(2\theta),\;v^2=\dfrac{\tan^2(2\theta)}{1+\tan^2(2\theta)}=\dfrac{4b^2}{\Delta}
uv=\dfrac{\sin(4\theta)}2=\dfrac12\;\dfrac{2\tan(2\theta)}{1+\tan^2(2\theta)}=\dfrac{2b(a-c)}{\Delta}
Alors
2\alpha=a(1+u)+2bv+c(1-u)=(a+c)+(a-c)u+2bv,\;2\beta=(a+c)-(a-c)u-2bv
4\alpha\beta=(a+c)^2-\bigl((a-c)^2u^2+4b^2v^2+4b(a-c)uv\bigr)
4\alpha\beta=(a+c)^2-\dfrac1{\Delta}\bigl((a-c)^4+16b^2+8b^2(a-c)\bigr)
et finalement \alpha\beta=b^2-ac,\;\alpha+\beta=a+c. On retrouve le déterminant et la trace de la matrice initiale \begin{pmatrix} a &b \\ b &c \end{pmatrix}
\alpha,\beta sont donc racines de l'équation X^2-(a+c)X+ac-b^2=0 dont le discriminant est justement \Delta (il n'y a pas de miracle).
Les études de signe deviennent faciles et on retrouve un résultat connu.

Posté par
pppa
re : Changement de repère pour une conique 07-10-16 à 18:14

Bonjour Luzak

avant d'étudier en détail le contenu de ton message, je veux d'ores et déjà te remercier pour le temps et la peine que tu as pris pour (me) fournir ces explications détaillées.

Je reprends mes calculs avec tes notations.



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