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changement de tempo

Posté par
derg07624ac9
02-01-23 à 12:18

Bonjour.
J'ai une question à poser. Cela concerne un chapitre appelé par les musiciens "équivalence de mesures". Le compositeur indique à un moment donné dans sa partition un changement de vitesse d'exécution (un changement de tempo). Mais, parfois, le rapport qui s'établit entre la vitesse qui précède le changement, et celle qui le suit, est plus subtil. Par exemple, le compositeur indique que le nouveau tempo équivaudra au tempo qui précède le changement, plus un tiers du tempo initial.
J'espère que je me suis bien exprimé et qu'un modérateur, mathématicien et non musicien, comprendra.
Dans ce cas, comment doit-on procéder pour trouver la valeur du nouveau tempo, si le tempo initial était 72. Dans la partition, le compositeur indique la valeur "54".
Je ne comprends pas commun on aboutit à ce résultat.
Je serais reconnaissant à un spécialiste de m'indiquer comment doit-on raisonner dans ce cas de figure.
D'avance merci.
  PS Dans "classement" je n'ai pas trouvé ma catégorie.

Posté par
carita
re : changement de tempo 02-01-23 à 12:46

bonjour derg07624ac9,

je ne suis pas musicienne, mais j'espère avoir à peu près compris ta demande.

"Par exemple, le compositeur indique que le nouveau tempo équivaudra au tempo qui précède le changement,
plus un tiers du tempo initial. "


le calcul est alors simple :
tempo final (ou nouveau) = tempo initial * 4/3    
en effet, 4/3, c'est 1 plus 1/3

exemple :
tempo initial 54
tempo final = 54 * 4/3 = 72

---

à l'inverse, pour retrouver le tempo initial quand on connait le nouveau :

tempo initial = nouveau tempo * 3/4

exemple :
tempo final 72
tempo initial = 72 * 3/4 = 54

j'espère avoir répondu à ta demande,
et je profite de l'occasion pour souhaiter à tous une belle et heureuse année.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 02-01-23 à 13:23

Bonjour,
Non
tempo initial 72, tempo final = 54 est il écrit
ce n'est pas 72 * 4/3

la vitesse est l'inverse du tempo
tempo 72 veut dire 72 noires par minute (sauf indication contraire sur la note de base)

si je multiplie la vitesse par 4/3, ça donne bien :
nouvelle vitesse = (1/72)x(4/3) = 1/54
le nouveau tempo est 54.

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 02-01-23 à 14:55

Je remercie les modérateurs pour leurs réponses.
J'essaye de comprendre les raisonnements, mais cela reste très complexe pour moi.

Je vais essayer de reprendre dans l'ordre.
Pour l'instant , je vais laisser le raisonnement de carita de côté, pour y revenir peut être après.
Je voudrais donc poser une première question à mathafou.
S'il veut bien me répondre, je lui en serais reconnaissant.
Que veut dire: "si je multiplie la vitesse par 4/3".
Est-ce que cela veut dire:
multiplier 72 par 3 sur 4?
ou bien, multiplier 72 sur le numérateur "1" donc, par la fraction 4 sur 3?

D'avance merci pour votre réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 02-01-23 à 15:26

Citation :
si je multiplie la vitesse par 4/3

je me suis très mal exprimé. je reprends

l'énoncé est de toute façon rédigé de façon un peu bizarre à cause d'une ambiguïté sur le mot "tempo"
l'exemple numérique tempo initial = 72 tempo final = 54
ne correspond pas à une augmentation de cette valeur numérique (une augmentation de la vitesse)
mais à un allongement des durées des notes
"allonger le tempo" veut dire aller plus lentement.

une noire qui durait \dfrac{1}{72} de minute va devenir une durée de \dfrac{1}{72} + \left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{72}\right) = \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \times\dfrac{1}{72} =  \dfrac{4}{3} \times\dfrac{1}{72}

et le cours de math dit que pour multiplier ces deux fractions c'est \dfrac{4 \times 1}{3\times 72}
ce qui donne bien une nouvelle durée de \dfrac{1}{54} c'est à dire une vitesse (tempo) de 54 noires par minute.

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 03-01-23 à 18:54

Bonjour Mathafou.
Merci pour la réponse.
Je comprends mieux, et je suis parvenu au résultat.
Par contre, je ne comprends pas le raisonnement qui suit la 1ière égalité. Soit (1 + 1/3) x 1/72
"1"  c'est le temps qui passe?

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 03-01-23 à 19:02

une tarte plus un tiers de tarte = 4/3 de tarte

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 04-01-23 à 18:45

En définitive, je voulais savoir si les 2 calculs proposés  aboutissaient au même résultat.

Par contre, je suis confronté à un nouveau problème quand j'applique le second calcul:
(1 + ...) x 1/le tempo indiqué.

J'essaye d'expliquer le nouveau cas de figure de changements de tempis avec équivalences entre 2 mesures.

Le compositeur a indiqué dans une mesure à 4 temps le tempo 54.
Puis, on passe dans une nouvelle mesure à 3 temps où l'unité de temps change. On passe dans un 3/8 (on était dans un 4/4).
Et, il indique que les 2/5 du temps de la 1ière mesure sera égal au temps de la nouvelle mesure.
Il précise que le tempo de la croche donc (du 3/8), est égale à 135.

Si j'écris: (1 + 2/5) x 1/54 je ne parviens pas à la valeur 135.

Pouvez-vous me dire où se situe l'erreur/les erreurs?
Vous en remerciant par avance.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 04-01-23 à 22:21

1ère erreur (fondamentale sur le vocabulaire avec des fractions, quel que soit ce qu'elles représentent)
"on augmente de 2/5 veut dire A + 2/5 A = (1+2/5)A, on multiplie par 7/5

et juste les 2/5 de tout court, ... c'est 2/5 A tout court !

ensuite il y a encore des imprécisions das l'énoncé.
en musique quand on précise une valeur de tempo
c'est indique le type de note qui sert d'unité
si on ne précise rien c'est par défaut la noire qui sert d'unité, quel que soit le type de mesure.
dans la mesure à 4/4, c'est clairement la noire qui sert d'unité et la vitesse est de 54 noires à la minute
la durée d'une noire = la duré d'un temps à 4/4 = 1/54 minute.

maintenant dans la mesure à 3/8 (3 croches par mesure)
il est précisé croche = 135, donne la durée d'une croche = 1/135 minute
c'est aussi la durée d'un temps

donc le rapport de ces durées est juste 54/135 = 2/5
tout baigne.
2/5 de 1/54 = (2/5)x(1/54) = 2/(5x54) = 1/(5*27) = 1/135

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 06-01-23 à 21:03

Bonjour mathafou.
Je vous remercie pour votre réponse.
J'avance dans ma compréhension de ces histoires d'équivalences de mesures basées sur des valeurs rythmiques particulières.

Je suis tombé sur un autre cas de figure où l'équivalence de mesures esr la suivante: on passe d'une mesure à 3 temps (unité de temps la noire) , à une mesure à 5 temps (unité de temps la double croche).
Le compositeur indique que les 3/7 de la mesure à 3/4 sera égale au 4/5 de la mesure à 5/16.
On part du tempo 67.5 par minute, au tempo suivant: croche (soit 2/5 de la mesure à 5 temps) est égal à 135.

J'ai écrit: 3/7 x 1/67.5 = 3/472.5 = 1/157.5
J'ai l'impression que la noire (de la mesure à 5 temps) a pour tempo 157.5
Par contre, je ne comprends pas comment on obtient le résultat 135 en BPM pour le tempo de la croche de cette mesure à 5/16

Si le tempo de la noire (de la mesure à 5/16) est 157.5, est-ce que cela veut dire que le tempo de la double croche est égal à:
157.5 x 4 = 630?

D'avance merci pour votre réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 06-01-23 à 21:39

tempo noire = a équivaut à tempo croche = 2a et tempo doube croche = 4a (quelque soit la mesure)
tout à fait.

attention que le ratio donné est sur la mesure,

noire = 67.5 à 3/4, durée de la mesure = 3 fois 1/67.5
croche = x à 5/16 équivaut à double croche = 2x et la durée de la mesure 5 fois 1/(2x)

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 07-01-23 à 17:24

Bonjour mathafou.
Merci pour la réponse précédente.

J'ai 2 questions à poser:
_ quand vous parlez de ratio, s'agit-il ici de 4:5?

_ Quand vous écrivez "croche= x à 5/16 etc..." doit-on comprendre:
Si, on connait le tempo de la double croche (prise dans une mesure à 5/16), pour calculer la durée de la croche, il faut ralentir de moitié ce tempo.
Par contre, pourquoi faut-il faire le calcul
5x 1/2x le tempo de la double croche
pour trouver la durée d'une mesure complète à 5 temps?

En définitive, la question est de savoir comment trouver le tempo 270 pour la double croche (1 temps de la mesure à 5/16) quand on ne dispose que du tempo initial de la mesure à 3/4 (67.5) et de l'équivalence rythmique: Les 3 /7 de la mesure initiale, sont aussi long que les 4/5 de la mesure vers laquelle on se dirige.

D'avance merci pour votre réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 09-01-23 à 15:49

Bonjour
moi non plus

ça me semble incohérent

Citation :
Le compositeur indique que les 3/7 de la mesure à 3/4 sera égale au 4/5 de la mesure à 5/16.
On part du tempo 67.5 par minute, au tempo suivant: croche (soit 2/5 de la mesure à 5 temps) est égal à 135.

on donne les données et aussi le résultat
C'est redondant, il n'y a rien à calculer à part vérifier que c'est vrai.
or :

mesure à 3/4 : tempo (noire ??) = 67.5
durée de la mesure à 3/4 = 3/67.5 minute

durée de la mesure à 5/16 :
3/7 de la mesure à 3/4 sera égale au 4/5 de la mesure à 5/16.
3/7 * (3/67.5) = 4/5 * cette durée inconnue
cette durée est donc de 9*5 / (7*4*67.5) = 1/42 minute

or il y a 5 doubles croches dans cette mesure
la durée d'une double croche est donc de 1/(5*42) = 1/210 minute
et la durée d'une croche de 2/210 = 1/105 minute
le tempo à la croche est donc de 105 croches par minute et pas 135

sauf erreurs
(et puis un tempo à la croche d'une mesure 5/16 ça semble aberrant vu qu'il n'y a pas un nombre entier de croches dans la mesure ...)

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 14-01-23 à 17:02

Bonjour mathafou.

Apparemment, la démonstration utilise une particularité des fractions dont je me souvenais plus.
Ai-je bien compris?

Quand on écrit: 3/7 x 3/67.5  = 4/5 x une durée inconnue
on peut aussi écrire
3/7 x 3/67.5 x 5/4 = une durée inconnue

D'avance merci pour la réponse.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 14-01-23 à 17:31

tout à fait.
A = Bx
donne x = A/B et diviser par 4/5 c'est multiplier par 5/4

on peut aussi multiplier les deux membres par 5 et les diviser par 4
on "voit" ça sous l'angle que l'on veut.

Posté par
derg07624ac9
re : changement de tempo 15-01-23 à 12:07

Bonjour mathafou.

Merci pour votre réponse et votre patience avec un néophyte.
J'ai encore une question à poser. C'est toujours autour de cette question sur des équivalences de mesures.
Le compositeur utilise , immédiatement après le cas précédent l'équivalence suivante: soit une mesure à 5/8 où le tempo de la double croche (le temps donc) est 210 l'équivalence proposée est: une double croche du 5/8 équivaut à 1/3 de la croche (la croche est la moitié d'un temps donc) , 1/3 d'un demi temps  d'une mesure à 2/4

J'ai donc voulu cherché par un calcul le tempo de la noire (le temps de la mesure à 2/4 donc, indiqué par le compositeur soit 105 à la noire.

Pourriez-vous vérifier mes calculs car je suis confronté à un problème.
1/5 x 5/210 = 1/12 x "durée inconnue"
5/1050 = 1/12 x "durée inconnue"
1/210 x 12/1 = "durée inconnue" = 12/210 = 1/17.5

Il y a donc 12 doubles croches prises en triolet (6 par temps de la mesure à 2/4) dans une mesure à 2/4

D'où: 1/12 x 17.5 = 1/210
Problème! le temps de la mesure à 2/4 (la noire donc) est 1/105?

Si mon calcul est bon?, pourquoi alors le compositeur écrit-il cette équivalence de mesure très inhabituelle pour un musicien dans la mesure où on passe d'une mesure à 5 temps où la croche est 105, à une mesure à 2 temps où la noire est 105; on observe finalement un tempo qui se dédouble.

D'avance merci pour votre aide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 15-01-23 à 18:00

le tempo n'est pas le temps mais la fréquence
ceci dit

nota : double croche = 210 est donc bien le croche = 105 du calcul; précédent, et pas le 135 annoncé le 06-01-23 à 21:03 (ouf.)

le "très inhabituel" est déja que la mesure à 5/8 ce n'est pas une mesure à 5/16 de la discussion précédente !
je signalais deja que

Citation :
(et puis un tempo à la croche d'une mesure 5/16 ça semble aberrant vu qu'il n'y a pas un nombre entier de croches dans la mesure ...)


donc OK pour la mesure 5/8 : 5 croches = 10 doubles croches
au tempo 105 à la croche = 210 à la double croche.

pour moi :
la durée d'une double croche du 5/8 = 1/210 minutes
la croche de la mesure à 2/4 dure donc 3 fois çà = 3/210 = 1/70 minutes
et la durée de la noire deux fois plus = 1/35 minutes
donc le tempo à 2/4 devrait être noire = 35

illustration : sur un logiciel musical je saisis :

changement de tempo

et ça donne (fichier son)

Posté par
mathafou Moderateur
re : changement de tempo 15-01-23 à 18:40

Attention que ici c'est un site de maths :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q14 - Les questions sur d'autres matières que les maths sont elles acceptées sur le forum ?



donc tant qu'il s'agit d'expliquer des calculs de fractions, c'est des maths, OK
mais là on a de plus en plus besoin de savoir de quel morceau de quoi il est question (triolets, mesures etc), et là c'est de la musique, donc hors sujet ici.

cette discussion est donc très très "border line" et si on est amené plus vers la musique devra être fermée ...
j'ai illustré le dernier calculs sur des fractions portant sur des durées qui sont des inverses de vitesses par une partie "purement musicale"
mais ne pas perdre de vue que d'un point de vue mathématique (ici sur ce site) c'est exclusivement de ça dont il est question :
des calculs de fractions sur des durées qui sont des inverses de vitesse. point barre.
je ne renouvellerai pas de telles illustrations.



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