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Changement de variable dans une intégrale

Posté par
Edison 26-06-18 à 16:19

Bonjour, j'aurai besoin d'un petit peu d'aide concernant ceci s'il vous plaît :

Je dois calculer $\int_{-1}^{1}\frac{1}{Ch(t)}dt$ en utilisant le changement de variable $u=e^t$ .

Donc pour se faire, je sais que $Ch(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ donc cela donne :

$\int_{-1}^{1}\frac{2}{e^t+e^{-t}}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{e^t+e^{-t}}dt$

On a :

$u = e^t$

$\frac{du}{dt}=e^t-e^{-t} \Leftrightarrow du = (e^t-e^{-t})dt$

hors si je change la variable $t$ pour $u$ maintenant je me retrouve avec du $u$ en trop dans l'expression du coup je ne sais pas comment procéder...

Si quelqu'un peut m'aiguiller j'en serai grandement reconnaissant!

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 16:40

t = ln u dt = du/u

2dt /(e^t+e^-t) = 2/(u+1/u) du/u = 2du /(u²+1) facile à intégrer

(ton u = e^t du/dt = e^t-e^-t est fantaisiste, du/dt = e^t tout simplement)

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 17:06

Ah oui effectivement j'ai écris du n'importe quoi autant pour moi je reprends

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 17:19

tu devrais mette ton profil à jour, tu n'es plus en première je suppose ?

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 17:32

Donc je reprends on a : $\int_{-1}^{1}\frac{2}{e^t+e^{-t}}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{e^t+e^{-t}}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{e^t+\frac{1}{e^t}}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{\frac{(e^t)^2+1}{e^t}}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{e^t}{(e^t)^{2}+1}dt$

Maintenant, on pose :

$u = e^t$

$\frac{du}{dt}=e^t \Leftrightarrow du =e^tdt$

$2\int_{-1}^{1}\frac{e^t}{(e^t)^{2}+1}dt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{(e^t)^{2}+1}e^tdt \\$

d'où on a $2\int_{-1}^{1}\frac{1}{(e^t)^{2}+1}e^tdt \Leftrightarrow 2\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^{2}+1}du$

On reconnaît l'expression dérivée de arc tangente,

$2\int_{-1}^{1}\frac{1}{u^{2}+1}du = 2\left [ arctan(u) \right ]_{-1}^{1} + c = 2\left [ arctan(e^t) \right ]_{-1}^{1} + c = 2[arctan(e)-arctan(e^{-1})] + c$

Merci Glapion pour ton aide

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 18:10

Bonjour Edison

Attention, ce que tu écris est incorrect. C'est t qui varie de -1 à +1, pas u.

Ensuite, c'est une intégrale, il n'y a pas lieu de rajouter une constante.

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale 26-06-18 à 19:10

ah d'accord donc il faut faire varier u de $e^{-1}$ à $e$ merci larrech

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