Bonjour,

Les bornes sont l'image des bornes initiales dans la nouvelle variable.

Si d(cosθ) vous pose problème, posez y=cosθ.

Si on prend la borne inférieure θ=0 donne y=cos(0)=1
On a éliminé le signe moins et interverti les bornes, donc 1 est devenu la borne supérieure.

, non ?

Bonjour,

question naïve : qu'est-ce que ?

Sinon gts2 a parfaitement répondu à la question. Le changement de variable correspond en fait à , d'où .

Pour répondre de façon plus mathématique, il s'agit d'une intégrale de Stieltjes.

C'est une théorie d'intégration comme celle de Riemann, où tu subdivises un intervalle borné de l'espace de départ et passes à la limite. En fait la seule différence, c'est qu'à la place de , tu as dans la somme de Riemann qui définit . Ou si tu préfères, l'intégrale de Riemann correspond à l'intégrale de Stieljes avec une fonction g fixée égale à l'identité.

Quand f et g sont assez régulières (je reste volontairement évasif pour ne pas t'embrouiller), la quantité existe si et seulement si existe et leur somme est égale à , pour un intervalle d'intégration . Ce résultat n'est rien d'autre que le théorème d'intégration par parties de l'intégrale de Stieltjes.

Il se trouve que quand f et g sont très régulières, . C'est simplement l'IPP Stieltjes à nouveau. Comme dans le cas Riemann, les bornes d'intégration ne changent pas !

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Pour en revenir à ton énoncé, si je note pour alléger les écritures et que j'applique à l'intervalle [a,b] = [0,T] et aux fonctions f = 1 et g = (-cos)



Les bornes ne changent pas!
Par contre, si tu veux faire le changement de variable, alors c'est différent et valable même quand g est un peu moins régulière



C'est la formule de changement de variable pour l'intégrale de Stieltjes. La preuve est assez simple, tu peux bidouiller légèrement g pour que g(a) = g(b), ce qui te ramène à un cas trivial.

Donc ici, . En clair, soit tu laisses les bornes tranquilles et tu laisses le cos dans la différentielle, soit tu appliques la formule de changement de variable et tes bornes changent, mais tu te débarasses du cos dans la différentielle.

Tout ça pour dire que ton résultat est faux

Bonjour,



Poser












et en se rappelant que  , il vient :



... qui est bien l'expression donnée en fin de ton message.

Inutile de dire qu'on peut calculer cela bien plus rapidement.

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses, je vais résumer ce que j'ai compris :

Si on a , on peut toujours dire que  

Donc je peux dire

Maintenant j'explique ce qui me rend encore un peu perplexe :

Si le changement de variable avait été fait comme gts2 et candide2 ont proposé, je n'aurais eu aucun problème avec ce changement de variable.

Mais c'est le fait d'avoir fait le changement de variable avec le qui m'a rendu très confus, et j'avoue que je suis toujours confus par ça surtout au niveau des bornes, je m'explique :

, quand alors et j'ai beaucoup de mail à voir ce que ça veut dire. Dans l'absolu ça veut dire "le changement infinitésimal de 1", qui est donc 0. Et donc c'est très étrange selon moi de dire et donc mettre la borne à 1.

Et idem pour la borne sup, on finit par dire que et je trouve ça un peu aberrant.

Au lieu de faire comme moi j'aurais fait et qui me semble plus facile, j'essaie de comprendre cette "nouvelle façon" de faire des changements de variable mais j'avoue que je vois peu l'intérêt jusque ici

@Rintaro : est un angle qui est en fonction de "r" dans le problème, et dont le cosinus vaut "D/r"

A ce propos, la suite de l'intégrale est comme ça (on remplace juste par sa valeur de "D/r" :



Donc ?

Là je pense c'est juste une formule de trigo que je ne connais pas...

(Désolé si je ne rebondis pas sur les détails techniques mathématiques, ils me passent largement au dessus de la tête malheureusement)

Réponse de physicien en terme de changement de variable.

Citation :
quand alors

Dit autrement



Avec


Avec

L'équation que tu trouves me semble douteuse.
cos(...) = rD implique que |rD| <= 1. Je suppute que D et r sont des distances, donc numériquement ça risque d'être difficile.
Outre cela, il y a un problème d'homogénéité, à moins que r ne soit homogène à 1/D

Le d qui apparait sous l'intégrale n'est pas qu'une notation, il coincide avec le d des (formes) différentielles.
Quand tu écris , ça ne saute pas forcément aux yeux, mais tu es en train d'écrire une égalité entre deux applications linéaires. Il se s'agit pas d'une dérivée de fonction, et même si ça l'était tu ne peux pas dériver ou intégrer des égalités en un point comme ça. La fonction identité est nulle en 0, mais sa dérivée est la constante égale à 1...


Je te donne un exemple différent de cette façon de faire des changements de variable, si ça peut t'aider


Calculons l'intégrale en utilisant un changement de variable et des différentiations.
On veut faire le changement de variable .
En différentiant, . Formellement, l'expression est égale à . J'ai simplement remplacé cos(x) par u partout, et sin(x)dx par -du.

Ensuite, quand x varie entre 0 et pi/2, le cosinus de x varie entre 1 et 0 en décroissant. C'est ici que se cache la difficulté du changement de variable. Tu veux idéalement un C1-difféomorphisme, c'est à dire une bijection de classe C1 à réciproque C1. Cette condition est parfaitement remplie par le cosinus, qui est une bijection dont la dérivée ne s'annule pas sur ]0,pi/2[...

Une fois tout ceci vérifié, il ne reste qu'à écrire


Calcul inutilement détaillé, mais il y a tout ce qui précède dans ce topic. De la différentiation, du remplacement formel, du calcul de bornes, de l'intégrale de Stieltjes, ...

Pour plus de contexte voici la partie du cours dans lequel ce changement de variable a lieu (il s'agit de calculer le potentiel d'interaction de Van der Waals d'un atome avec un plan avec l'approche de Hamaker) :

Attention : le prof a eu la mauvaise idée d'appeler "d" la distance de l'atome au plan, ce qui peut faire confusion avec le "d" dans les différentielles

En utilisant le formalisme de Stieltjes, le changement de variable est quasi immédiat et se voit au premier coup d'oeil



où f : u -> -1/(1+u²) = -arctan'(u) et g = cos.
La formule de changement de variable que je donne à de 13:37 nous dit que cette intégrale est égale à

@Ulmière : je comprends bien l'intégration que tu fais à la fin, car ce changement de variable selon moi est un changement de variable "normal" => les bornes sont facilement calculables en disant "theta vaut truc, donc cos(theta) vaut truc". Ce n'est pas du tout évident pour moi si il y a des d(<truc>) qui trainent, entourant les valeurs et les fonctions

Comment gts2 a dit je pense que le plus compréhensible pour moi c'est ce que candide2 a fait

En suivant le texte on a bien et comme

Il y a beaucoup de choses qui ne vont pas dans ce calcul, à commencer par l'équivalent à 1/d^3, qui contredit le résultat final qui ne donne qu'un , sauf si

Si j'en reste à la première ligne de la première image, c'est un passage classique en coordonnées polaires. L'intégrale portant sur devient un facteur qui ne dépend que de r via . Le calcul dont ce sujet fait l'objet montre que le facteur en question est simplement .

Ensuite, c'est très mal expliqué, mais je crois que est pris égal à et qu'on prend une énergie potentielle en 1/r^6.

Ensuite le calcul est faux, il n'est nul part fait mention d'un DL qui autorise à faire sauter le 1-cos... C'est pourtant ce qui est fait!
.

On multiplie tout ce petit monde par r^{-4} et on regroupe les constantes dans une grosse constante K

Ca donne

Ca fera où est une constante positive qui ne dépend pas de d

Il y a des petites coquilles, c'est un O(d^(-5)) à la fin, et dans l'équivalent final la puissance de d est 3 et pas -3

M'enfin le reste est ok, j'espère que saisis bien que ta confusion vient surtout du DL passé sous silence et de la justification elle aussi passée sous silence du fait que le DL est pertinent et que l'intégrale entre d et r_0 contribue peu à l'équivalent final, où r_0 est un r assez grand pour pouvoir considérer que d/r est assez petit pour faire le DL

En fait ton prof a fait ça de manière encore plus sale et a purement et simplement remplacé par d/r, sans O ou o

Du coup ça fonctionne, il sort le (1-d/r) il multiplie par r² pour faire r² - rd, il oublie au passage la dépendance de U en la variable r. Ensuite il se souvient que U est de la forme 1/r^4 et il divise par r^4 pour trouver 1/r^4 - d/r^5. Puis il calcule ses primitives et évalue en d avec un signe moins puisqu'il fait en gros dans sa tête

Je clarifie : comme je le dis depuis le début, il s'est planté dans les bornes. Ce ne sont pas 1 et d/r, c'est 0 et theta_max(r). L'intégrale entre les bonnes bornes de d(cos) donne bien 1 - cos(theta_max). Il remplace ensuite cos(theta_max) par d/r. Je ne sais pas si c'est pertinent d'un point de vue physique, mais c'est en tout cas une quantité entre 0 et 1, qui tend vers zéro quand r tend vers l'infini.

Bonjour,

Comme déjà dit, c'est qui vaut d/r et pas l'angle.
Il n'y a donc pas d'équivalent.
Pour ce qui est de  , je n'ai pas fait de changement de variable (intégrer sinus c'est quand même pas compliqué) et donc le résultat est indépendant de celui-ci.
Si vous interprétez les bornes comme des bornes en θ, votre intégrale donnerait

Justement, c'est pour ça que je parle d'intégrale de Stieltjes. n'a pas beaucoup de sens ailleurs que sous une intégrale.

est une notation pour .
Le prof aurait du écrire et non .
La première notation sous entend que la variable d'intégration est theta, qui varie bien entre 0 et theta_max.
La deuxième est symbolique et essaie de signifier que la variable d'intégration est cos(theta) et que cette dernière se balade entre d/r et 1. La provenance du theta de cos(theta) est oubliée, et c'est pour ça qu'il parle de changement de variable

La différence est dans les notations

normalement.

Mais ton prof utilise une notation différente , avec le à l'intérieur du d(...), qui voudrait dire que tu intègres 1 par rapport à la pseudo-variable cos(theta) qui se balade entre a et b. Le résultat est alors b-a.
Ca aurait été beaucoup plus clair s'il avait juste écrit au lieu de laisser trainer son cos(theta).

Merci Ulmière et gts2

Au final je peux pas dire que j'ai compris ce changement de variable, et comme vous dites dans derniers posts, ne pas le faire est au final beaucoup plus simple et clair au niveau des étapes de calcul.

Merci encore pour vos explications et bon week-end.