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changement de variable (proba)

Posté par
mousse42 10-02-21 à 21:01

Bonsoir,

J'aimerais juste une piste sur le bon changement de variable  :

\Large I=\int_{R^2_+} f(x+y)\lambda^2e^{-\lambda(x+y)}dxdy

f est une application borélienne bornée et \lambda>0

Sinon, pour remettre la chose dans le contexte, on a X\perp\!\!\!\perp Y et X\sim\mathcal{E}(\lambda) et Y\sim\mathcal{E}(\lambda) et on cherche la loi de Z=X+Y

Je vous remercie

Posté par
lionel52re : changement de variable (proba) 10-02-21 à 21:07

Hello! Pose juste u=x+y et v=y.
Je te conseille de réecrire cette integrale sous la forme d'une intégrale sur R^2 en rajoutant des indicatrices

Posté par
mousse42re : changement de variable (proba) 10-02-21 à 21:21

ok, merci lionel52 encore une fois, ça veut dire que (x,y)\in \R^2_+\longmapsto (x+y,y)\in \R^2_+ est un C^1 difféomorphisme ?

ok, je vais réfléchir, je reviendrai demain...

Posté par
lionel52re : changement de variable (proba) 10-02-21 à 21:25

Re, non.

(0,1) a pour préimage (-1,1)

Posté par
mousse42re : changement de variable (proba) 10-02-21 à 21:34

ok, merci je regarde ça demain, j'en ai assez pour aujourd'hui

Posté par
flightre : changement de variable (proba) 11-02-21 à 04:48

salut

sauf erreur il n'y aurait pas du jacobien qu'on peut utiliser pour calculer cette integrale ?

Posté par
mousse42re : changement de variable (proba) 11-02-21 à 07:00

Bonjour,
Bon, voilà une première étape

On considère la fonction g(u,v)=f(u)1_{\R_+}(v)
et \gamma:(x,y)\in \R\times \R_+\longmapsto(x+y,y)\in \R^2_+

(g\circ \gamma)(x,y)=f(x+y)1_{\R_+}(y)=f(x+y)

Ainsi \Large I=\int_\Delta(g\circ\gamma)(x,y)e^{-\lambda(x+y)}dxdy

\Large \Delta=\{(x,y)\in \R\times \R_+, y\ge -x\}

En gros on intègre sur la surface de \R^2 au dessus de la droite d'équation y+x=0, mais je ne vois pas comment faire apparaitre ceci dans les bornes de mon intégrale

Posté par
lionel52re : changement de variable (proba) 11-02-21 à 10:49

Bon on va procéder différemment. Les histoires de domaines c'est compliqué et ici c'est plus prise de tête qu'autre chose.

Ton intégrale s'écrit :

I = \int_R \int_R f(x+y)\lambda^2e^{-\lambda(x+y)}1_{x>0}1_{y>0}dxdy

Le changement de variable linéaire :
u = x+y
v = y
Est un difféomorphisme de R^2 sur R^2  (matrice inversible) de jacobien 1

Donc  comme x = u-v
I = \int_R \int_R f(u)\lambda^2e^{-\lambdau)}1_{v<u}1_{v>0}dvdu \\ =  \int_R \int_{0}^{u} f(u)\lambda^2e^{-\lambda u}dvdu \\

Etc

Posté par
mousse42re : changement de variable (proba) 11-02-21 à 15:18

ok, merci !


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