Niveau Reprise d'études-Ter

Changements de formules

Posté par
KPKPKT14 10-06-21 à 10:30

Bonjour
J'aimerai comprendre comment peut on passer de
a/c.[1+(-d/c+b/a)÷(x+d/c)]
à
a/c+ [(-ab/c²+b/c) ÷(x +d/c)
Puis de ce dernier à

a/c+[((bc-ad) /c²)÷(x+d/c)]
Svp

Posté par re : Changements de formules 10-06-21 à 10:58

Bonjour

Le texte est-il bien  ?

$\dfrac{a}{c}\left(1+\dfrac{\dfrac{-d}{c}+\dfrac{b}{a}}{x+\dfrac{d}{c}}\right)$

puis

$\dfrac{a}{c}+\left(\dfrac{\dfrac{-ab}{c^2}+\dfrac{b}{c}}{x+\dfrac{d}{c}}\right)$

enfin

$\dfrac{a}{c}+\left(\dfrac{\dfrac{bc-ad}{c^2}}{x+\dfrac{d}{c}}\right)$

Pour le passage de la deuxième à la troisième ligne on pourrait penser à une réduction au même dénominateur  mais je ne vois pas comment on aurait $d$ à la place de $b$

Posté par re : Changements de formules 10-06-21 à 11:07

Oui c'est bien ça, ce sont les étapes principales apparemment entre le formule homographique f(x)= (ax+b) /(cx+d) à la forme f(x) = Beta + K/(Alpha-x)
Ou K= (bc-ad) /c²
Alpha =-d/c
Et Beta= a/c

Posté par re : Changements de formules 10-06-21 à 11:11

$\dfrac{a}{c}\left(1+\dfrac{\dfrac{-d}{c}+\dfrac{b}{a}}{x+\dfrac{d}{c}}\right)$

on développe

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{\dfrac{a}{c}\left(\dfrac{-d}{c}+\dfrac{b}{a}\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

$=\dfrac{a}{c}+\dfrac{\left(\dfrac{-da}{c^2}+\dfrac{b}{c}\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

Ce doit donc être un $d$ au lieu d'un $b$

Posté par re : Changements de formules 10-06-21 à 11:49

$\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{\dfrac{ax+b}{c}}{x+\dfrac{d}{c}}$

Pour pouvoir simplifier on va faire apparaître $x+\dfrac{d}{c}$
On utilise seulement le numérateur

$\dfrac{ax+b}{c}=\dfrac{a}{c}x +\dfrac{b}{c}$

on met $\dfrac{a}{c}$ en facteur

$\dfrac{a}{c}\left(x+\dfrac{b}{c}\times \dfrac{c}{a}\right)= \dfrac{a}{c}\left(x+\dfrac{b}{a}\right)$

en ajoutant 0 soit $\dfrac{d}{c}-\dfrac{d}{c}$

$= \dfrac{a}{c}\left(x+\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c}\right)$

On reprend la fraction

$=\dfrac{\dfrac{a}{c}\left(x+\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c}\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

$=\dfrac{\dfrac{a}{c}\left(x+\dfrac{d}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c}\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

$=\dfrac{a}{c}+\dfrac{\dfrac{a}{c}\left(\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c}\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

Posté par re : Changements de formules 10-06-21 à 11:51

Oubli d'une parenthèse avant dernière ligne

$=\dfrac{\dfrac{a}{c}\left(\left(x+\dfrac{d}{c}\right)+\left(\dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c}\right)\right)}{x+\dfrac{d}{c}}$

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