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Chasse au trésor

Posté par Yannick1878 (invité) 08-12-03 à 21:01

Les coffres sont cachés aux sommets de tous les triangles ABC vérifiant les conditions suivantes :

1. Un sommet est en  A, et un autre sur la route de la plage

2. L'angle au somme B mesure 60°

3. Le côté [AC] mesure 7 km

4. La somme des deux autres côtés mesure 11 km

5. Il n'y a pas de coffre au fond de la mer


Le problème consiste à déterminer le nombre exact de coffres, et à indiquer leur emplacement précis par rapport à la route de la plage et au point A.

NB : la route de la plage est une route totalement rectiligne, de 30 km de long, et dont le point A est au centre. (((La distance entre la route et la mer n'excède jamais 100 mètres)).

Aidez-moi, c'est urgent. Je joue mon année sur ce problème,merci.

Posté par hum! (invité)re : Chasse au trésor 09-12-03 à 08:22

"Je joue mon année sur ce problème,merci. "

Bon ! alors ça f'ra 10 000 € !!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Chasse au trésor 09-12-03 à 17:27

Petit coup de main.

Calcul de la longueur des cotés des triangles possibles à construire.

Loi des cosinus dans le triangle ABC:
AC² = BC² + AB² - 2.BC.AB.cos(60°)
avec cos(60°) = 1/2   ->
49 = BC² + AB² - BC.AB  (1)
par hypothèse, on a: BC + AB = 11
BC = 11 - AB

Remis dans (1) ->
49 = (11-AB)² + AB² -(11-AB).AB
49 = 121 - 22AB + AB² + AB² - 11AB + AB²
3AB² - 33AB + 72 = 0
AB² - 11AB + 24 = 0

Equation du second degré en AB qui donne comme solutions:
AB = 3 ou AB = 8
-----
Il y a donc 2 types de triangles possibles:

a) ceux avec AB =3 km ; AC = 7 km et BC = 8 km
b) ceux avec AB =8 km ; AC = 7 km et BC = 3 km
------
A toi de les construire tous.

Par exemple d'abord ceux avec:
AB =3 km ; AC = 7 km et BC = 8 km

Tu connais A.
Il y a un second point sur la route (si j'ai bien compris), c'est
soit B soit C.

supposons d'abord que c'est B.
B peut être à gauche ou à droite de A sur la route.

Supposons d'abord B à gauche de A.
Tu places B à gauche de A sur la route à 3 km (tu mets des cm au lieu
de km sur ta feuille)
Avec un compas et A comme centre, tu traces un cercle de rayon 7.
Avec un compas et B comme centre, tu traces un cercle de rayon 8.

C se trouve au point de rencontre de ces 2 cercles, tu remarques qu'il
y a 2 possibilités pour C mais une se trouve dans l'eau donc
tu ne gardes que l'autre.
Un triangle ABC est dessiné, tu dois marquer où sont ses 3 sommets (places
possibles pour les trésors).

Tu recommences mais cette fois-ci en mettant B à droite de A.
Tu retrouves le C possible par le compas comme le coup avant.
Tu conserves les sommets (A est évidemment le même, il faudra penser
à ne pas le compter plusieurs fois si tu comptes combien de places
de trésors sont possibles)

Tu recommences mais cette fois en mettant C sur la route à 7 cm de A
une fois à gauche de A et une fois à droite et tu recherche les points
B possibles au compas ... (en éliminant ceux qui tombent dans l'eau).
-----
Ensuite tu refais la même chose mais avec les triangles AB =8 km ; AC = 7
km et BC = 3 km

Quand tu auras tout fini, il te reste à compter les emplacement possibles
(Attention que si dans différent triangles, certains sommets tombent
à la même place que dans un autre triangles de ne compter qu'une
fois ces points)
-----
Bon travail

---
Sauf distraction.











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