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Chercher Alpha

Posté par
coatch
27-01-18 à 14:28

Bonjour pourriez vous m'aider pour mon exercice de DM merci

Partie A

La fonction f est définie sur [0,1] par f(x) = xe-x
1.Démontrer que l'équation f(x) = 1/4 admet une unique solution dans l'intervalle [0,1]
2.Déterminer une valeur approchée au millième de
3.Résoudre dans l'intervalle [0,1], l'équation f(x) = x.

Fin de la partie A.

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 14:35

Bonjour

quel est votre problème ?
étude de la fonction
stricte monotonie sur [0~;~1]
tvi
valeur approchée

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 14:46

1. f(x) = xe-x  forme uv
u= x                v= e-x
u'=1               v'=-e-x

F'(x) = 1*e-x+x*(-e-x) = e-x + (-xe-x) = e-x -xe-x

e-x > 0 tableau de variation :       x          0                 1
                                                                    f'(x)             +
                                                                    f(x)                  \nearrow

2. Balayage pour trouver une valeur approchée d'alpha :

Avec un pas de 1 :           Avec un pas de 0.1 :        Avec un pas de 0.01 :
2=> 0.2706                         2.1=>0.2571                     2.15=>0.2504
3=>0.1493                          2.2=>0.2437                     2.16=>0.2491
2<<3                                  2.1<alpha<2.2                  2.15<<2.6

Maintenant avec un pas de 0.001 :
2.153 = 0.25

Donc Alpha a une valeur juste de 2.153.

3.La je bloque

Merci

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:07

Pensez-vous que vos valeurs de \alpha se situent dans   [0~;~1]

il aurait fallu compléter le tableau  f(0)=0  f(1)=\text{e}^{-1}\approx 0,36

0,25\in[0~;~\text{e}^{-1}] donc il existe un unique \alpha \in[0~;~1] tel que f(\alpha)=0,25

\alpha \approx 0,3574

3   f(x)=x d'où   x(\text{e}^{-x}-1)=0


remarque il existe bien une valeur \beta\in [2~;~3] tel que f(\beta)=0.25

\beta \approx 2,15329

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:27

Petite question vous avez mis f(0) = 0 et f(1) 0.36
car vous avez fait e-1 alors pourquoi avec f(0) vous n'avez pas fait e0 merci

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:31

on choisit l'écriture la plus simple

entre  \text{e}^0 et 1 laquelle choisissez-vous ?

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:32

1

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:33

c'est bien ce que j'ai fait

Posté par
carpediem
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:41

salut

f(x) = x


tout mettre dans un membre et factoriser ... comme au collège ...

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:44

en cas d'interrogation
f(0)=0\text{e}^{0}=0\times 1 =0

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:49

D'accord j'ai compris

Partie B :

La suite (Un) est définit par u0= et pour tout entier naturel n par Un+1 = f(Un).
1.Démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0
2.Démontrer quela suite (Un) est décroissante.
3.En déduire que la suite (Un) converge vers un réel l que l'on déterminera.

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:51

Pour la raisonnement de récurrence je suis bloqué à l'hérédité ...

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 15:54

J'ai

Initialisation : Uo = = 0.3575 et Un+1 = f(Un)
Alors  f(U0)=0.3575e-0.3575 = 0.25 Donc U0 > 0

Hérédité : je suis bloquée sur la supposition du rang p+1 ...

Conclusion : Un>0

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:03

on suppose u_n >0 et on montre que u_{n+1}>0

u_{n+1}=f(u_n)=u_n\text{e}^{-u_n}

u_{n+1}>0 comme produit de réels positifs

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:07

Ceci : Un+1 = f(Un) = Une-Un,  permet de montrer que le rang p+1 est >0 ?

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:18

???vous supposez que la propriété est vraie  pour p, n enfin la lettre que vous voulez et vous montrez alors que c'est vraie à l'ordre p+1, n+1
les lettres sont muettes

u_n>0  au rang n et vous montrez que c'est vraie au rang  n+1

u_{n+1}=u_n\,\text{e}^{-u_n}

si n n'a pas votre agrément  appelez le p

on se sert bien de l'hypothèse de récurrence  puisque l'on dit que c'est le produit de 2 nombres positifs

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:29

Donc

Initialisation : U0= alpha = 0.3575 et Un+1 = Une-Un
Donc U1 = U0e-U0 = 0.3575e-0.3575 0.25
Donc U0>0

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie a un rang p, soit Up+1 :
Alors : Up+1 = Upe-Up
Up+1>0 car c'est le produit de 2 nombres positifs.

Conclusion : Un>0

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:33

2. La suite (Un) est décroissante car e-x >0 mais décroit on le voit grâce à la calculatrice :
1=>0.3678
2=>0.2706
3=>0.1493

Donc la suite Un est décroissante
Ps = est ce que je dois dire qu'elle converge vers 0 même si il me le demande dans la 3.

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:40

Pour la 2. je rajoute : Un+1 - Un < 0
Une-Un-Un <0
Un ( e-U n- 1) < 0 soit pour les signes +(-) donc elle est décroissante.

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:52

on peut prendre des raccourcis

u_0=\alpha donc u_0>0 ce qui assure la base

si vous voulez poussez un peu u_1=f(\alpha)=0,25 le détail a été fait en partie A

propriété vraie au rang p et on montre qu'elle est vraie au rang p+1


conclusion la propriété est vraie au rang 0 on a montré que si elle est vraie au rang p alors elle est vraie au rang p+1 donc pour tout n\in \N ,\ u_n>0

pour la décroissance ce n'est pas une démonstration que vous avez faite


signe de u_{n+1}-u_n ?

u_{n+1}-u_n=u_n\,\text{e}^{-u_n}-u_n=u_n\left(\text{e}^{-u_n}-1\right)
u_n>0 et à prouver   \text{e}^{-u_n}<1

donc \left(u_n\right) décroissante

Posté par
carpediem
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 16:59

partie B

théoriquement le travail fait dans la partie A permet de conclure immédiatement !!!

la question A1 nécessite l'étude de f et permet de conclure immédiatement que la suite (u_n)est positive donc répond à la question B1

pas besoin de raisonnement par récurrence ...

cette même question A1 répond immédiatement à la question B2

f est (strictement) croissante donc u_{n + 2} = f(u_{n + 1})  et  u_{n + 1} = f(u_n)  sont dans le même ordre que u_{n + 1}  et  u_n

donc la suite est monotone

le sens de variation est déterminé par l'ordre des deux premiers termes

la question B3 se déduit immédiatement des deux précédentes

...

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 17:15

Pour la 3.

\lim_{x->+\infty} Un = +\infty  }
                                                                                         }   Un+e-Un = 0
\lim_{x->+\infty} e^{-Un} = 0    }

Je suis pas sûre de ça

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 17:26

suite décroissante minorée donc converge  vers l et l=f(l)

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 17:56

La suite converge vers 0 ?

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 18:13

n'était-ce pas votre réponse à la dernière question de la partie A  ?
oui

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 18:30

D'accord

Partie C

La fonction g est définie sur [0,1] par g(x) = (-x-1)e-x-\frac{1}{4}x
1. Démontrer que pour tout x de [0,1], g'(x) = f(x) -1/4
2.Dresser le tableau de variation de g sur [0,1]. On établiera que g() = -1/4 ( + \frac{1}{} + 1).

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 18:32

Citation :
2.Dresser le tableau de variation de g sur [0,1]. On établiera que g() = -1/4 ( + \frac{1}{} + 1).


g(alpha) = -1/4 (alpha+ \frac{1}{alpha} + 1)

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 18:48

avez-vous trouvé g'(x) ?

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 18:57

Non je n'arrive pas a trouver lemême résultat avec g'(x) et f(x) +1/4

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 19:17

je suppose que g(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{4}x sinon il aurait été effectué  -x-\dfrac{1}{4}x

dérivée d'une somme et d'un produit

g'(x)=-1\text{e}^{-x}-(-x-1)\,\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{4}=-\text{e}^{-x}+x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{4}

on a bien  g'(x)=f(x)-\dfrac{1}{4}

g(\alpha)=(-\alpha-1)\,\text{e}^{-\alpha}-\dfrac{1}{4}\alpha

on sait que   \alpha\text{e}^{-\alpha}=\dfrac{1}{4} donc \text{e}^{-\alpha}=\dfrac{1}{4\alpha}

je vous laisse conclure

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 19:36

C'est j'ai trouvé le résultat

Un grand merci à toi Hekla, merci beacoup

Posté par
hekla
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 19:41

de rien

bon courage pour la rédaction

Posté par
coatch
re : Chercher Alpha 27-01-18 à 20:09

merci bonne soirée



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