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Chiffre des unités des puissances de 3

Posté par
huayra 21-10-15 à 15:00

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je n'arrive pas à comprendre comment résoudre le problème...
L'énoncé est : "Etudier à la calculatrice le chiffre des unités des premières puissances de 3. Quelle conjecture peut-on faire ? La démontrer."
J'ai remarqué que le chiffre des unités suit une "boucle" : 3, 9, 7, 1. Mais comment le démontrer ? Je suis vraiment bloquée...
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
toadre : Chiffre des unités des puissances de 3 21-10-15 à 16:46

bonjour,


si on multiplie un entier par 3, et qu'on connait le chiffre des unités de cet entier, quel sera le chiffre des unités du résultat ?

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 10:35

Un multiple de 3...?

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 10:55

Bonjour,

Une disjonction des cas suivant les restes de la division euclidienne de n par 4 en remarquant que 3^4\equiv 1\;\;[10]:

Si n=4k,\qquad 3^{n}\equiv (3^4)^k\equiv 1\;\;[10]

Si n=4k+1,\qquad 3^{n}\equiv (3^4)^k\times 3\equiv 3\;\;[10]

Si n=4k+2,\qquad 3^{n}\equiv (3^4)^k\times 9\equiv 9\;\;[10]

Si n=4k+3,\qquad 3^{n}\equiv (3^4)^k\times 27\equiv 7\;\;[10]

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:07

Je ne comprends pas votre raisonnement...

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:11

1) Connais-tu les congruences ?

2)Si oui, qu' est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:14

Oui je comprends les congruences mais je ne vois pas le rapport avec le chiffre des unités...

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:16

A quoi est congru 25647 modulo 10 ?

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:18

Aaaah je crois que j'ai compris ! Il est congru à 7 qui est son chiffre des unités !

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:19

Nous y voilà!

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:28

Merci beaucoup !
Dans la question suivante, je dois trouver le chiffre des unités de 20132013. Je remarque le chiffre des unités des premières puissances de 2013 suit la même boucle 3;9;7;1. Je dois donc utiliser le fait que 201341(mod 10) ?

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:39

Oui, 2013\equiv 3\;\;[10]

et on a donc 2013^n\equiv 3^n\;\;[10]

Autrement dit, les puissances de 2013 et 3 ont le même chiffre des unités.

et 2013^{2013}\equiv 3^{2013}\equiv 3^{4\times 503+1}\equiv 3\;\;[10]

Posté par
huayrare : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:45

Merci encore ! J'ai compris

Posté par
lakere : Chiffre des unités des puissances de 3 27-10-15 à 11:47

De rien huayra


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