Bonjour, il y a pas mal de choses que je ne comprends pas dans ce que tu dis :

- d'abord rien ne dit que r est rationnel il peux valoir pi ou racine de 2, ...
- le produit des des deux n'est pas forcement irrationnel, par exemple si r = 3/, le produit vaudra 6,
- ensuite qu'est qu'une grandeur mesurable ? Une grandeur est dite mesurable si on peut lui affecter une valeur numérique à partir d'observations.
donc rien à voir avec la notion de rationnel ou d'irrationnel. la circonférence peut être mesurée par un nombre irrationnel, pas de problème.

bonjour

et j'ajouterais que si "mesurable" est ici utilisé au sens physique du terme, il faut avoir conscience que dans la pratique, en physique, les nombres irrationnels n'existent pas au niveau de la mesure.

Une mesure est toujours faite à une précision donnée dépendant de l'instrument utilisé. Par exemple pour les distance un décamètre / un décimètre / un pied à coulisse / un palmer / des figures d'interférence ...

Il n'y a donc qu'un nombre fini de décimales dans une mesure physique. Ce sont toujours des rationnels, et même mieux : des décimaux.

oui tu as raison, en fait toute mesure physique se traduit avec des nombres décimaux mais la circonférence d'un cercle n'est pas forcement le résultat d'une mesure, ça peut être le résultat d'un calcul théorique.
En fait il faudrait compléter la définition : Une grandeur est dite mesurable si on peut lui affecter une valeur numérique à partir d'observations ou résultats de calculs.

certes Glapion, souvent c'est à partir du diamètre , mais tout bricoleur ou physicien qui se respecte ne donnera pas la circonférence avec 40 décimales à partir d'un rayon mesuré à 1 décimale

Tout le monde n'est pas bricoleur ou physicien , si on nous dit que le diamètre est 2 par exemple (diagonale d'un carré de coté 1 par exemple) alors la circonférence aura une mesure irrationnelle.

bien sûr... mais là je me limitais au cas qu'il évoquait ... je pense que le terme "mesurable" était pris au sens physique

Soit un cercle de 2 mètres de diamètre. La circonférence est . Quelle est la mesure précise en mètres ? Est-ce un nombre rationnel  (entier, décimal, fractionnaire) ou irrationnel ?

Ben si elle vaut 2 elle est irrationnelle, non ?

Oui et le quotient de deux nombres irrationnels est irrationnel ou est rationnel après simplification du numérateur et du dénominateur (votre exemple avec ). C'est pourquoi j'en déduis que le calcul de la circonférence, si on ne peut pas se débarrasser de , est approximatif.
Merci pour vos réponses.

approximatif ? pourquoi approximatif ?
Que le résultat s'exprime en fonction de ou pas, ça ne change pas grand chose.
on aura par exemple le résultat exact 2 et puis si on veut une approximation, on prend une approximation de avec le nombre de décimales nécessaire à la précision attendue.

C'est très fréquent, par exemple tu veux la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1, tu fais un savant calcul, tu trouves 2 qui est la solution exacte et si tu veux une valeur approchée, tu prends une valeur approchée de la racine.