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Niveau Licence Maths 1e ann
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Classe C^k

Posté par
Aalex00
07-02-20 à 16:21

Bonjour,

J'aimerais avoir une précision : si je considère une fonction f définie sur une partie non vide U d'un espace vectoriel normé, est-ce que dire f est de classe C^k revient à dire f de classe C^k sur l'intérieur de U ?

Je dirais que oui mais j'attends vos réponses, merci.

Posté par
Ulmiere
re : Classe C^k 07-02-20 à 17:23

Considère f définie sur U = \R_+ par f(0) = 0 et f(x) = \dfrac{1}{x} partout ailleurs.

f est C-tout-ce-que-tu-veux sur l'ouvert \R_+^\ast, qui est l'intérieur de U, mais même pas continue sur U tout entier

Posté par
Ulmiere
re : Classe C^k 07-02-20 à 17:26

Et il existe aussi des exemples pas prolongeables du tout sur \R_+\cup\{\infty\}, par exemple f(x) = cos(1/x)

Posté par
Aalex00
re : Classe C^k 07-02-20 à 17:39

Bonjour Ulmiere, ok merci pour ces précisions. C'est vrai que j'aurais pu y penser...

En restant sur les réels par exemple, quand on parle de continuité aux bornes d'un intervalle fermé, on parle seulement de continuité à droite ou à gauche ?

Posté par
Ulmiere
re : Classe C^k 07-02-20 à 17:41

Si I non vide (et borné),
(continuité sur I) = (continuité à droite et à gauche sur l'intérieur de I) + (continuité à droite en inf(I)) + (continiuité à gauche en sup(I))

Posté par
Aalex00
re : Classe C^k 07-02-20 à 18:15

..si I intervalle.

Ok merci beaucoup.

Posté par
Ulmiere
re : Classe C^k 07-02-20 à 20:34

De rien



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