Bon déjà ta série ne me semble pas converger uniformément sur R*+
(et encore moins sur R+ )

Bon ... sinon pour a>0 :

|Un+1(a)|
--------- = 1-a/4*n^(-3/4)+o(n^3/4) ... tend vers 1 par valeurs inférieures
|Un(a)|

à partir d' un certain rang N, la série ΣUn(a) est alternée
et son terme général décroit en valeur absolue vers 0. Là un théorème
magique te dis que la série ΣUn(a) est convergente.

De plus, pour n fixé et pour x>a,

|Un+1(x)| Un+1(a)|
------------- < -------------
|Un(x)| |Un(a)|


Donc à partir de ce même rang N, ΣUn(x) est aussi alternée à terme
général décroissant vers 0 (en val absolue).

S est donc définie sur [a;+oo[

de plus, pour n>N, x>=a

|S(x)-Σ(Uk(x),k=0..n-1)|<=|Un(x)| (th sur les séries alternées)
<=|Un(a)| ( car t->|Un(t)|
est décroissante )

La convergence est donc uniforme sur [a;+OO[.
Comme de plus toutes les fonctions t->Un(t) sont continues sur cet intervalle,
S est continue sur [a;+OO[.




Par bonheur, les fonctions t->Un(t) sont dérivables sur cet intervalle
et ressemblent furieusement aux fonctions de départ, à un facteur
-n^(1/4) près.

Cela ne change rien au développement asymptique calculé précédemment :


|U'n+1(a)|
--------------= 1-a/4*n^(-3/4)+o(n^3/4)
|U'n(a)|

Par une démarche identique on en déduit que S est dérivable sur [a;+oo[,
que la convergence est uniforme et que sa dérivée est continue.
Le calcul des dérivées successives de t->Un(t) fournit le même résultat
: à chaque fois il y a pparition d'un nouveau facteur -n^(1/4)
qui ne change aps le dvt asymptotique.

Finalment, S est de classe C infinie sur [a;+oo[, et en faisant tendre a vers
0, on obtient que S est C oo sur R*+

Pascal .. y a 2 smileys qui sont en trop là (les 2 derniers)

Et oui, lorsqu'il y a un espace suivi d'une parenthèse
fermante, c'est traduit par un smiley qui correspond normallement
à ; puis )

Je chercherais un corriger ce bug un de ces jours ...

C'est corrigé.