[Classique] Irrationnalité de Pi

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[Classique] Irrationnalité de Pi
Posté par 
tealc  25-04-08 à 12:29
Bonjour à tous

 je vois que l'exercice est à la mode du côté des sup, alors je vous le propose. Il est faisable techniquement par des terminales.

Pour a et b deux entiers strictement positifs fixés, et n entier, on pose 

1. Montrer que, pour tout entier k,  et 

Indication :

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Penser à utiliser la formule de Leibniz

2. On va supposer que  est rationnel. On pose , a, b entiers > 0 et on introduit le polynôme  tel que défini plus haut.

On pose également pour tout n, 

a) Montrer que pour tout n, 

Indication :

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Commencer par faire une intégration par partie en dérivant , puis généraliser, et utiliser la question 1)

b) Monter que 

Indication :

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Faire une étude de  sur  en n'oubliant surtout pas qu'ici, 

c) Conclure quant à l'irrationnalité de 

Bon courage (et sauf erreur ^^)
 Posté par 
simon92re : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 12:37
techniquement, ca veut dire quoi?  que c'est possible mais qu'il faut s'accorcher? ^^
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simon92re : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 12:38
et bonjour au fait 
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tealcre : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 12:39
Salut simon

ça veut dire que le programme de terminal est suffisant, mais que le sujet n'est volontairement pas détaillé ... Donc les terminales s'aideront sûrement des indications (pas sûr, mais bon ^^)
 Posté par 
Epicurienre : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 12:49
teal>
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Est-ce que  représente la dérivée k-ième?
 Posté par 
Epicurienre : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 12:49
Bonjour à tous au fait 

 Posté par 
gui_toure : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 13:13
Saloute 

Kuikui > 
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Oui, mais n'oublie pas les parenthèses autour du k 
 Posté par 
tealcre : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 13:24
'lu Epicurien et gui_tou

Epicurien >

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Comme l'a dit gui_tou, toutafé ^^
 Posté par 
1 Schumi 1re : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 14:58
tealc >>

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Sans Leibniz?  Mais tu veux qu'ils te fassent des récurrences monstrueuses ou quoi? 

 Posté par 
1 Schumi 1re : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 15:00
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Oups, j'avais pas lu l'indication.  (qu'un terminale ne comprendra pas... ).

 Posté par 
tealcre : [Classique] Irrationnalité de Pi  25-04-08 à 16:36
Ayoub >

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Erf toutafé ^^ J'aurais du, en question 0, faire démontrer la formule de Leibniz (qui est "facile" en connaissant un minimum de chose) ...
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d4-fr3shre : [Classique] Irrationnalité de Pi  26-04-08 à 00:06
moi qui désire entrer dans une prépa, cela me fait saliver d'avance... merci tealc  sauf que pour l'instant je peux démontrer l'irrationalité et peut etre mm la transcendance mais je ne pense avoir le temps a cette heure ci. cette démonstration est longue et difficile, avis aux matheux . bonne soirée et bon courage.
 Posté par 
simon92re : [Classique] Irrationnalité de Pi  28-04-08 à 16:48
bon, je deterre ce topic, comem promis, j'essaie, et je bloque un peu:

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c'est quoi lebniz? parce que je vois pas bien, si k<n, bah y'aura toujours un X^(n-k) qui sera un facteur de P^(k)_n(X) donc la pas de soucis P(0)=0 mais après...
  Posté par 
pl_TSIre : [Classique] Irrationnalité de Pi  02-01-10 à 11:19
bonjour,

serait-il posssible d'avoir une correction de cet exercice?

merci d'avance