Bonjour, j'ai un exo sur lequel je bloqué totalement dès que celui se complique :

On numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 pour A à 25 pour Z. On choisit deux nombres entiers naturels a et b avec a et non nuls.

Le couple (a; b) s'appelle la clé de chiffrement. On dit qu'elle est satisfaisante lorsque deux lettres diffé rentes sont codées par deux lettres différentes. Pour coder la lettre numéro x, on calcule le reste y dans la division euclidienne de ax+b par 26.

Puis y est remplacé par la lettre correspondante.

1. Max choisit pour clé de chiffrement (2; 8).

a) Vérifier que la lettre O est codée K.
y congru à 2x+8 (26) donc
y congru à 10
Donc O codée par K

b) La clé est-elle satisfaisante?
2x congru à y-8 (26)
x congru à y/2 -4 (26)
Avec y 10, x=1 donc O et A codée par la même lettre, la clé n'est pas satisfaisante


2. a) Montrer que, si a et 26 sont premiers entre eux, alors la clé (a; b) est satisfaisante.
C'est là que commence les problèmes :
Si a et 26 premiers entre eux, alors d'après le théorème de Bezout, 26u +av = 1
y- b congru ax (26)
y-b congru à ((1-26u)x)/v
C'est l'unique idée que j'ai


b) Montrer que si la clé (a; b) est satisfaisante avec a et 26 premiers entre eux, alors il existe un entier relatif u

tel que a congru 1[26].

c) Déterminer alors une fonction de décodage.

d) Décoder le mot HDEPU obtenu avec la clé (3; 4).