Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi vous calculez les puissance de B?
Pour connaître le polynôme minimal de B il faut d'abord calculer son  polynôme  caractéristique det (B- )et puis pour connaître  le polynôme minimal de A il faut calculer en premier eson polynôme caractéristique  det(A- )

Bonsoir Yosh2,

C'est tout à fait pertinent de calculer les puissances de et tu as fait le plus gros du travail : tu vois que est polynôme annulateur de si et seulement si est polynôme annulateur de .

À y regarder de plus près, il y a un os pour la formule de quand . C'est ennuyeux quand on calcule des polynômes en . À revoir.

Un conseil pour y voir plus clair : regarde le cas trivial où .

bonjour
en effet il y avait un probleme pour k=0
en notant p_0 le coeff constant de P(X)
P(B) = ( 1/2(P(2A) + p_0)    A/2(P(2A) - p_0)  )
               (A^-1/2(P(2A) - p_0)   1/2(P(2A) + p_0) )
peut on se passer de l'hypothese A est inversible pour l'ecriture de P(B) ?

avec cette expression le lien entre un polynome annulateur de B et de A me semble plus flou , je ne vois qu'une implication , P(X) est annulateur de B ==> P(2X)+p_0 est annulateur de A
puis mu_A divise mu_B(2X) + b_0,
de meme mu_A divise mu_B(2X) - b_0 (hypothese supplementaire A inversible )
puis mu_A divise 2mu_B(2X) c'est a dire mu_A divise mu_B(2X)
ceci est il correct ?

As-tu regardé le cas n=1 ?

oui pour n=1 , A =(a) est juste un complexe et B une matrice 2x2
B⁰ = I_2 ,
P(B) = ( 1/2(P(2a) + p_0)    a/2(P(2a) - p_0)  )
               (1/2a(P(2a) - p_0)   1/2(P(2a) + p_0) ) si a non nul
j'avoue ne pas comprendre ce qu'il faut tirer du cas n=1

Quel est le polynôme minimal de A dans ce cas ? Quel est celui de B ?

celui de A est X-a , pout celui de B je n'arrive pas a le voir

Oh ! Tu ne trouves pas le polynôme minimal de ?

je voulais le deduire de mon expression de P(B) , mais ce n'etait pas la bonne voie, le polynome minimal de B est l'un des diviseurs du polynome caracteristique de B qui est X(X-2a) puis en les essayant tous avec B on trouve mu_B(X) = X(X-2a)

donc les racines de mu_B sont les doubles des racines de mu_A , cela est coherent avec ce que j'ai trouve plus haut a savoir mu_A divise 2mu_B(2X)

On voit donc que dans ce cas . Pas mal.
Ça ne te donnerait pas envie de voir ce que fait ?

en effet on trouve
BP(B)  = (AP(2A)   A²P(2A) )
                   (1/2P(2A)   AP(2A) )

(j'arrive a remarquer les enormes simplifications apres calcul , mais je ne vois toujours pas d'ou viens a priori l'idee de calculer BP(B) , vient elle de la volonte d'enlever le A^-1 ou bien l'avez vous deduite du cas n=1 ? pourriez vous m'eclairer ce point ? )
pour P(X) = mu_2A(X) on obtient mu_B divise Xmu_2A(X)
puis P(X) = mu_B(X) on obtient Xmu_2A(X) divise mu_B(X)
tous les deux sont unitaires donc mu_B=Xmu_2A(X)

j'arrive a montrer dans le cas general que Xmu_2A(X) divise 2Xmu_A(X/2) mais pas la reciproque
sinon en admettant que la formule trouvée pour n=1 est generale alors si mu_A(X) est scinde a racine simple (sars) alors 2Xmu_A(X/2) est aussi sars puis mu_B(X) est sars donc B est diagonalisable ssi A l'est aussi .

Petite erreur dans ton calcul : vérifie. (Ta formule ne marche pas pour ).
Dans le cas , on voit que est en facteur de tout polynôme qui annule , et que l'autre facteur annule . Ne trouves-tu pas en y réfléchissant un peu que ça pousse à évaluer un polynôme de la forme en ?

Remarque que P(X) annule A si et seulement si P(X/2) annule 2A.

"mu_A(X) est scinde a racine simple (sars) alors 2Xmu_A(X/2) est aussi sars". Ben non, pas toujours.

oui j'ai rajoute un facteur 1/2 qui ne doit pas etre present dans BP(B)

'' "mu_A(X) est scinde a racine simple (sars) alors 2Xmu_A(X/2) est aussi sars". Ben non, pas toujours.''
si P est sars P(X/2) aussi car on ne fait que multiplier par deux des racines distincts qui restent distincts , et si P est sars alors XP est aussi sars sauf si 0 est deja racine de P , il faut donc supposer mu_A(X)  n'a pas 0 comme racine donc A inversible
la CNS est donc A diagonalisable et inversible

Hum, il manque encore pas mal de choses.
Je suis d'accord que tu as montré que si A est diagonalisable et inversible, alors B est diagonalisable.
Autrement dit tu as une condition suffisante.

Pour moi, tu n'as pas montré qu'elle est nécessaire

j'avais l'impression qu'il suffisait d'utiliser les memes arguments en sens inverse
si B est diagonalisable  , mu_B(X) est sars donc 2Xmu_A(X/2) est sars , puisque mu_B(X) est sars il ne peut pas y avoir de facteur X dans mu_A(X/2) (ainsi A inversible) donc mu_A(X/2) est sars sans facteur X donc mu_A(X) est sars donc A diagonalisable. cela vous parait il correct ?

Plus haut :
"puis P(X) = mu_B(X) on obtient Xmu_2A(X) divise mu_B(X) "
Tu peux expliquer ?

pour P(X) = mu_B(X) , la matrice de droite s'annule en particulier son terme en haut a gauche donc Amu_B(2A) = 0 donc mu_2A(X) divise Xmu_B(X) et non pas ce que j'ai ecrit .

Oui, donc il reste un peu de boulot pour montrer que la condition "A diagonalisable et inversible" est aussi nécessaire.

j'avoue que je seche un peu dans la formule BP(B) , j'ai essaye
P(X) = mu_B(X) , mu_A(X/2), Xmu_A(X/2) , (1/X)mu_B(X)
ce que j'obtiens pour l'instant c'est mu_B(X) divise Xmu_A(X/2)
mu_A(X/2) divise mu_B(X)

Bon, pour le moment tu as, si je suis bien :

divise
ce qui suffit pour montrer que si est inversible et diagonalisable, alors est diagonalisable

et divise
ce qui devrait te permettre de montrer que si est diagonalisable et inversible, alors est diagonalisable.

Il te restera ensuite à voir que si est diagonalisable, alors est inversible ou de façon équivalente que si n'est pas inversible, alors n'est pas diagonalisable. Pour cela, on peut laisser tomber les polynômes minimaux et y aller bille en tête ; tout tourne autour de la valeur propre 0.

Je me permets de "réveiller" ce post car en raison d'une information "oubliée" on a été conduit à introduire un polynôme annulateur un peu plus gros que nécessaire.
Cette information consiste à remarquer que admet la valeur propre (en fait le rang de est toujours ) de sorte qu'on peut calculer sans utiliser ( comme a fait remarquer GBZM la relation de récurrence donnant ne vaut que si ).
Du coup dans la matrice nulle le bloc formé par les dernières lignes, dernières colonnes fait apparaître que est annulateur de et donc que les polynômes sont associés.

On pouvait conclure facilement à partir de mon dernier message.
Si est diagonalisable et inversible (donc premier avec ) alors divise et est diagonalisable.
Restait à voir que diagonalisable entraîne inversible. Si n'est pas inversible, soit non nul dans le noyau de et . Alors et , ce qui montre que n'est pas diagonalisable.