Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour cet énoncé qui me pose énormément problème. J'ai déjà un peu avancé mais il reste énormément de points où ce n'est pas très clair.

Voici l'énoncé :
On numérote les lettres de l'alphabet de 0 à 25 tel que :
A=0
B=1
C=2
etc.

Une fonction f associe à chaque nombre x le reste de la division euclidienne de ax+b par 26
On remplace les lettres initiales par celles qui correspondent aux numéros donnés par les restes.
Le couple (a;b) est la clé du codage.

1. On suppose que a et 26 sont premiers entre eux

a) On considère deux valeurs x et x' telles que f(x) = f(x'). Montrer à l'aide du théorème de Gauss que x=x'

On sait que ax+b=ax'+b.  De plus, ce sont des multiples de 26.
Ainsi,
(ax+b)-(ax'+b)=0
ax+b-ax'-b=0
ax-ax'=0
a(x-x')=0
26 et a sont premiers entre eux donc 26/a(x-x')

pgcd (a;26) = 1 donc par le théorème de Gauss : 26/(x-x')

x e [0;25] et x' e [0;25]
alors 0<x<25 et -25<-x'<0 donc -25<x-x'<25
de plus, 26/x-x'
Il existe qu'un seul multiple de 26 dans [-25;25] qui est 0
Ainsi, quand f(x)=f(x'), x=x'

b) La clé (a;b) est satisfaisante si deux lettres sont codées par deux lettres également différentes. En déduire que la clé est satisfaisante dans le cas où a et 26 sont premiers entre eux.

On suppose que pgcd(a;26)=1. Ainsi, comme ax+b n'est pas égal à ax'+b (car x ne vaut pas la même valeur que x', étant associés à deux lettres différentes) on sait grâce à la question a) que x=x' <=> f(x)=f(x')
Ainsi, dans le cas où les lettres sont différentes elles ne seront pas codées de la même manière. La clé est donc satisfaisante.

Dans la suite, on considère que a et 26 sont premiers entre eux.

2. A l'aide du théorème de Bézout, montrer qu'il existe un entier u tel que :  au est congru à 1 mod [26]

3. Montrer que, si y est congru à ax+b modulo 26 alors x est congru à uy-bu modulo 26
En déduire une fontion affine permettant de lire un message codé.

4. Déterminer une fonction de déchiffrement associée à la clé (11;8), puis lire le message "IFA EAYIN"

Je bloque vraiment sur cet exercice, si vous pouviez m'aider ce serait vraiment sympa !

Merci d'avance