Inscription / Connexion Nouveau Sujet
coefficient entiers
bonjour
on pose S0 = 1 et pour tout n entier non nul Sn=X(X-1).....(X-n+1)/n!
1- calculer Sn(k) pour k entier relatif
2-soit P un polynôme tq P(
)
. on pose P(X)=
akSk(X) k de 0 a n . montrer que ak sont entiers
1- je trouve pour tout k entier positif non nul supérieur ou egal a n Sn(k) = (n parmi k) , et pour k entier positif inferieur a n Sn(k) = 0
pour k entier negatif Sn(k) = (-1)n (n parmi k) mais je n'arrive pas a fusionner les deux expressions pour obtenir une expression generale pour k entier relatif
2-soit i 
P(i) = ak(-1)k(k parmi i) j'ai pense a utiliser l'absurde en supposant que ak est non entier , mais je me dis que que si ai et aj sont non entiers mais de signes contraires ils peuvent s'annuler et laisser P(i) entier
pouvez vous m'aider ?
merci a vous
salut
ben peut-être qu'on peut pas et qu'il faut bien faire cette disjonction de cas !!
plutôt que de prendre i quelconque peut-être choisir n valeurs particulières ... (probablement 0, 1, 2, ..., n - 1)
et peut-être essayer un cas particulier (prendre n = 3 par exemple)
Si k est un entier négatif (n parmi k) n'a pas trop de sens .
Si p 
Sn(-p) = (-p)(-p - 1).....(-p - n + 1) = (-1)np(p + 1).....(p + n - 1)
bonjour
etniopal il faut également diviser par n! ,
donc Sn(-p)=(-1)np(p+1)....(p+n-1)/n!
= (-1)n(p+n-1)!/(p-1)!n!
=(-1)n (n parmi p+n-1)
bonjour
carpediem en prenant n=3
P(0) = a0S0 = a0
P(1) = a0S0+a1S1(1) 
a1S1 mais pour a1 je n'arrive pas à me prononcer
P(2) =a0S0 +a1S1(2) + a2S2(2)
P(3) = a0S0(3) + a1S1(3) + a2S2(3) + a3S3(3)
je trouve que la présence des coeff binomiaux ainsi que leur propriété de symétrie me conforte encore plus dans l'idée que c'est possible d'avoir les ak des réels non entiers de signes opposes qui s'annulent
ouais en fait S_k(k) = 0 pour k < n donc pas bon ...
prendre plutôt S_k(-k)
ne pas oublier que les coef bin sont entiers ...
Je remplace " (n parmi k) " pa r C(k,n) .
On a donc S(n , k) =
.. 0 si k {0 , 1 ,....,n-1}
..C(k , n) si k 
n
.. (-1)n.C(n - k - 1,n) si k < 0 .
Pourquoi vouloir " fusionner" ?
_________________
Si P 
[X] \ {0} et n est son degré il existe un seul (a0,...,an) n+1 tel que P = 
0
kn akXk . ( ça se démontre , mais on peut l'admettre si on veut) .
Il s'agit de montrer que les ak sont dans si P() .
Déjà P(0) = a0
Puis P(1) = a0 + a1 donc a1
Puis P(2) = ...
etc
bonjour
etniopal les coeff ak sont ceux de P dans la base (Sk) , j'imagine qu'ils sont differents de ceux de la base canonique (Xk) dont vous avez montré l'appartence a .
je voulais fusionner pour ne pas refaire la disjonction de cas dans la question 2 et trouver une seule expression pour P
bonjour
en effet carpediem les coeff bin sont entiers mais le rapport de deux entiers n'est pas toujours entier donc je ne peux rien dire sur a1
Je me suis trompé :
Je voulais dire que : si P [X] \ {0} et n est son degré il existe un seul (a0,...,an) n+1 tel que P = akSk .
bonjour
etniopal mais du coup même avec l'unicité des coeff , a présent on se ramene a mon msg du 15:12, faisant intervenir les ak avec les coeff bin , ce qui m'empêche de conclure quant à l'appartenance des ak à
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac