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Coefficients binomiaux: somme partielle alternée

Posté par
fabo34
02-09-22 à 10:34

Bonjour,

   Un article site la formule suivante, renvoyant au livre de H. W. Gould, "Combinatorial Identities".

\sum_{j=0}^k(-1)^j {\begin{pmatrix} n\\j\end{pmatrix}}= (-1)^k {\begin{pmatrix} n-1\\k\end{pmatrix} }= \prod_{j=1}^{k}{(1- {n \over j} )}

On ne trouve pas ce livre en libre accès sur internet.
Quelqu'un connaîtrait-il une démonstration de ce résultat?

Posté par
lionel52
re : Coefficients binomiaux: somme partielle alternée 02-09-22 à 11:03

Hello !

Déjà tu peux montrer plein d'identités de ce genre en utilisant la formule :


{n \choose k} = \frac{1}{2i\pi} \int_C \frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}dz avec C le cercle unité.

(Cela se montre facilement en utilisant le binome de Newton puis en paramétrant le cercle)




Ensuite :  

\sum_{j=0}^k (-1)^j {n \choose j} = \frac{1}{2i\pi} \int_C \sum_{j=0}^k (-1)^j \frac{(1+z)^n}{z^{j+1}}dz \\ = \frac{1}{2i\pi} \int_C \frac{(1+z)^n}{z} \frac{1 - (-1/z)^{k+1}}{1+1/z} dz \\
 \\ = \frac{1}{2i\pi} \int_C (1+z)^{n-1} (1 - \frac{(-1)^{k+1}}{z^{k+1}})dz
 \\ = 0 + (-1)^k  {n-1 \choose k} 
 \\


Si j'ai d'autres méthodes en tête je les posterai !

Posté par
Ulmiere
re : Coefficients binomiaux: somme partielle alternée 02-09-22 à 11:15

Pour la seconde égalité, il suffit de prendre le temps de l'écrire

\binom{n-1}{k} = \dfrac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{1\times 2\times \cdots\times k} = \dfrac{n-1}{1} \times \dfrac{n-2}{2} \times \cdots\times\dfrac{n-k}{k} = \prod_{j=1}^k (n/j - 1) = (-1)^k\prod_{j=1}^k (1-n/j)


Pour l'autre, tu peux utiliser le triangle de Pascal \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

\sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j} = \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n-1}{j} + \sum_{j=1}^k (-1)^j\binom{n-1}{j-1} = \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n-1}{j} - \sum_{j=0}^{k-1} (-1)^j\binom{n-1}{j} = (-1)^k\binom{n-1}{k}

avec deux subtililités :

1) dans la première égalité, la somme commence à j = 1. J'aurais du écrire

\sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j} = \binom{n}{0} + \sum_{j=1}^k (-1)^j\binom{n}{j} = \binom{n}{0} + \sum_{j=1}^k (-1)^j\binom{n-1}{j} + \sum_{j=1}^k (-1)^j\binom{n-1}{j-1} = \binom{n}{0} - \binom{n-1}{0} + \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n-1}{j} + \sum_{j=1}^k (-1)^j\binom{n-1}{j-1}

mais j'ai silencieusement supposé que n > 1, de sorte que les deux coefficients "zéro parmi" soient nuls


2) dans la deuxième égalité, je fais le changement de variable j \leftarrow j-1. Du coup (-1)^{j} = -(-1)^{j-1} devient (-1)^{j} après changement de variable. C'est de là que vient le signe moins qui permet de télescoper les deux sommes restantes

Posté par
fabo34
re : Coefficients binomiaux: somme partielle alternée 02-09-22 à 11:17

lionel52: Merci! Et wouaw, c'est très au delà de mon niveau! Si toutefois tu penses à une méthode prenable pour un niveau Tle, bac+1, ce serait le top ! (Je sais aussi que ça n'est pas forcément possible, la boite à outil n'étant pas très fournie ).

Posté par
fabo34
re : Coefficients binomiaux: somme partielle alternée 02-09-22 à 11:20

Ulmiere : Merci! Là ça me semble prenable

Posté par
Ulmiere
re : Coefficients binomiaux: somme partielle alternée 02-09-22 à 12:04

De rien

Je profite de l'occasion pour corriger une petite erreur dans mon post précédent

Citation :

Du coup (-1)^{j} = -(-1)^{j-1} devient {{\red -}}(-1)^{j} après changement de variable


J'avais oublié le signe moins en rouge dans le 2)



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