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Niveau maths sup
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coefficients de bezout

Posté par
saljer
07-03-22 à 16:42

bonjour les amis
s'il vous plait aider moi à résoudre cet exercice
soient a,b 2 deux entiers naturels non nuls premier entre eux
montrer  que \exists!(u_0,v_0)\in\mathbb{N}^2\ telque\  u_0a-v_0b=1\ avec \ u_0<b\ et \ v_0 <a

Posté par
GBZM
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 17:12

Bonjour,

D'accord pour t'aider, mais dis-nous d'abord ce que tu as fait ou au moins essayé. Où bloques-tu ?

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 17:21

J ai posé le théorème de bezout
a et b premiers entre eux donc il existe au moins u et v deux entiers relatifs tel que
au +bv=1
C est là où je suis bloqué

Posté par
verdurin
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 17:46

Bonsoir,
à partir d'un couple (u,v) on peut en trouver d'autres.
Je te laisse chercher comment.

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 18:32

au+bv=1 et \ u_0a-v_0b=1\ donne \ a(u-u_0)=b(v_0-v)\\ cad\ u_0=u+kb\\et \ v_0=v+k'a
a partir de la je suis encore bloqué

Posté par
carpediem
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 18:43

salut

n'aurait-on pas k = k' ?

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 19:25

Oui effectivement  k = k'
Mais ça ne rajoute rien sauf l expression de u_o et v_0 en fonction d un seul k

Posté par
verdurin
re : coefficients de bezout 07-03-22 à 21:00

Tu as donc,à partir d'un couple (u_0,v_0) tel que au_0-bv_0=1 des couples (u_k, v_k) avec  u_k= u_0+kb et v_k=v_0+ka tels que au_k-bv_k=1.

En partant de la détermination de (u_0,v_0) par l'algorithme d'Euclide, il me semble assez facile de conclure.

Pour donner un exemple avec a=6 et b=13 cet algorithme donne
6\times(-2)-13\times(-1)=1.
En prenant k=1 on obtient
6\times11-13\times5=1.

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 08-03-22 à 08:48

Je suis pas sûr que l algorithme d'Euclide résoud le probleme

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 08-03-22 à 11:25

le problème est comment démontrer que la solution  appartient à N
et que u_0<b\ et\ v_0<a

Posté par
GBZM
re : coefficients de bezout 08-03-22 à 15:19

Bonjour,

Suppose que l'on a deux entiers u,v tels que ua-vb=1 et que 0\leq v< a. Que peux-tu dire de u ?

Posté par
saljer
re : coefficients de bezout 08-03-22 à 19:24

Un peu plus de détail svp

Posté par
GBZM
re : coefficients de bezout 09-03-22 à 07:02

Je te demande de trouver un encadrement de u.
Vu le résultat que tu dois montrer, tu peux conjecturer cet encadrement.



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