Niveau LicenceMaths 2e/3e a

coefficients de Fourier

Posté par
Saiga 07-08-22 à 19:45

Bonjour,

J'ai quelques soucis avec les calculs des coefficients de Fourier dans l'exercices suivant :

On considère la fonction $f: x \mapsto \left| x\right|$ définie sur $[ -\pi; \pi ]$ et étendue à $\mathset{R}$ par $2\pi$ -périodicité.
En utilisant la formule de Parseval, montrer que : $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{(2n+1)^4}=\cfrac{\pi^4}{96}$ .

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Pour cela, je commence par calculer les coefficients de Fourier (j'ai une préférence pour les coefficients complexes...), c'est-à-dire les coefficients définies pour $n \in \mathset{Z}$ , par :

$c_n(f) = \cfrac{1}{2\pi}\times \int_{-\pi}^{\pi} \left| t \right| \cdot e^{-int} \ dt$

pour $n=0$ , on a : $c_0(f) = \cfrac{1}{2\pi}\times \int_{-\pi}^{\pi} \left| t \right| \ dt$

Comme $f$ est paire, on a : $c_0(f) = \cfrac{1}{\pi}\times \int_0^\pi t dt = \cfrac{\pi}{2}$

Maintenant, pour $n\neq 0$ , on a : $c_n(f) =\cfrac{1}{2\pi}\times \int_{-\pi}^{\pi} \left| t \right| \cdot e^{-int} \ dt$

En utilisant de nouveau la parité de $f$ , on obtient que : $c_n(f) = \cfrac{1}{\pi}\times \int_0^{\pi} t \cdot e^{-int} \ dt$

Les fonctions $t \mapsto t$ et $t \mapsto e^{-int}$ sont de classe $\mathscr{C}^1$ sur $[-\pi,\pi]$ , on peut intégrer par parties et donc :

$c_n(f)=\cfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \cdot e^{-int}\ dt = \cfrac{1}{\pi} \left( \left[ t\cdot \cfrac{e^{-int}}{-in} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \cfrac{e^{-int}}{-in} \ dt \right) = \cfrac{1}{\pi}\left( \left[ t\cdot \cfrac{e^{-int}}{-in} \right]_0^{\pi} + \cfrac{1}{in} \int_0^{\pi} e^{-int} \ dt \right)=-\pi\cfrac{e^{-in\pi}}{in}+\cfrac{e^{-in\pi}}{n^2}-\cfrac{1}{n^2}$

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Or, lorsque je demande le calcul des coefficients de Fourier sur le logiciel Sinequanon (X-cas pour les anciens), il ne me renvoit que les deux derniers termes $\left(\cfrac{e^{-in\pi}}{n^2}-\cfrac{1}{n^2}\right)$ le terme $\left(-\pi\cfrac{e^{-in\pi}}{in}\right)$ n'apparaît pas du tout.

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Posté par re : coefficients de Fourier 07-08-22 à 20:38

Citation :
En utilisant de nouveau la parité de f

Et non, regarde bien ton expression. La fonction valeur absolue est effectivement paire, mais pas la fonction $t\mapsto e^{-int}$ donc tu ne peux pas juste multiplier par deux la valeur de l'intégrale sur $[0,\pi]$ . Il va falloir couper l'intégrale en deux, faire ton changement de variable pour faire apparaître une différence d'exponentielles à écrire comme (-2i)sin(nt), puis intégrer par parties pour trouver si je ne m'abuse (vérifie j'ai fait le calcul de tête) $c_n(f) = \dfrac{(-1)^ni}{n}$ .

Posté par re : coefficients de Fourier 14-08-22 à 10:17

En effet, je me suis laisser emporter par le calcul de $c_0(f)$ ....
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Voici ce à quoi j'arrive pour le calcul des $c_n(f)$ :

Pour $n\geq 1$ , on a :

$c_n(f) = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cdot e^{-int}\ dt = \cfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left| t \right| \cdot e^{-int}\ dt  = \cfrac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} -t \cdot e^{-int}\ dt + \int_{0}^{\pi} t  \cdot e^{-int}\ dt \right)$

Posons $\varphi : x\mapsto -x$ . Alors $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $[-\pi;0]$ Comme $f$ est continue sur $\varphi([-\pi;0])=[0;\pi]$ , on peut appliquer le théorème de changement de variable :
$\int_{-\pi}^0 -t\cdot e^{-int}\ dt = \int_{\pi}^0 u \cdot e^{inu} \cdot (-1) \ du = \int_0^{\pi}u\cdot e^{inu}\ du$

et donc :

$c_n(f) = \cfrac{1}{2\pi} \left( \int_0^\pi t\cdot e^{int}\ dt + \int_0^\pi t \cdot e^{-int}\ dt \right)$

Les fonctions $t \mapsto t$ , $t \mapsto e^{-int}$ et $t \mapsto e^{int}$ sont de classe $\mathscr{C}^1$ sur $[0,\pi]$ , on peut donc intégrer par parties et on obtient que :

$c_n(f) = \cfrac{1}{2\pi} \left(\left(\left[ t \cdot \cfrac{e^{int}}{in} \right]_0^{\pi}-\int_0^\pi \cfrac{e^{int}}{in} \ dt  \right) + \left(\left[ t \cdot \cfrac{e^{-int}}{-in} \right]_0^{\pi}-\int_0^\pi \cfrac{e^{-int}}{-in} \ dt  \right)\right)= \cfrac{1}{2\pi} \left(\left( \pi\cdot \cfrac{e^{in\pi}}{in} -\cfrac{1}{in}\int_0^\pi e^{int} \ dt  \right) + \left(\pi \cdot \cfrac{e^{-in\pi}}{-in}-\cfrac{1}{-in}\int_0^\pi e^{-int} \ dt  \right)\right)$
$= \cfrac{1}{2\pi} \left(\left( \pi\cdot \cfrac{e^{in\pi}}{in} -\cfrac{1}{in} \times \left[ \cfrac{e^{int}}{in} \right]_0^\pi  \right) + \left(\pi \cdot \cfrac{e^{-in\pi}}{-in}-\cfrac{1}{-in}\times \left[ \cfrac{e^{-int}}{-in}\right]_0^\pi \right)\right) = \cfrac{1}{2\pi} \left( \pi\cdot \cfrac{e^{in\pi}}{in} +\cfrac{1}{n^2} \times \left[ e^{in\pi}-1 \right] + \pi \cdot \cfrac{e^{-in\pi}}{-in}+\cfrac{1}{n^2}\times \left[ e^{-in\pi}-1\right] \right)$

Or, on a : $\sin(-n\pi)=0=\sin(n\pi)$   et donc $e^{-in\pi} = e^{in\pi}$ .

Ainsi :

$c_n(f) = \cfrac{1}{2\pi} \times\cfrac{2}{n^2} \left(e^{in\pi}-1 \right) = \cfrac{1}{\pi n^2}\left( (-1)^n-1 \right) \\$
--------------------------------------------------------------------------------------------

Puisque $f$ est continue par morceaux et $2\pi$ -périodique, on peut appliquer la formule de Parseval :

$\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 = \cfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| f(t) \right|^2 \ dt$

On calcule chacun des deux membres de l'égalité :

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 = \left| c_0(f) \right|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \left| c_n(f) \right|^2 + \left| c_{-n}(f) \right|^2 \right)$

Or, on a : $\cfrac{1}{\pi n^2}\left( (-1)^n-1 \right) = \cfrac{1}{\pi (-n)^2}\left( (-1)^{-n}-1 \right) \Leftrightarrow c_n(f)=c_{-n}(f)$ , pour tout $n\geq 1$ et donc on obtient :

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 = \left| c_0(f) \right|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \left| c_n(f) \right|^2 + \left| c_{-n}(f) \right|^2 \right) = \left| c_0(f) \right|^2 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 = \left| \cfrac{\pi}{2} \right|^2 + 2 \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left|\cfrac{1}{\pi n^2}\left( (-1)^n-1 \right)\right|^2 = \cfrac{\pi^2}{4} + 2 \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \cfrac{1}{\pi^2 n^4}\left| (-1)^n-1 \right|^2$

Or, pour tout $n\geq 1$ , on a : $(-1)^n-1=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{, si } n =2k\text{ avec }k \in \mathbb{N} \\ -2 & \text{, si } n=2k+1 \text{ avec } k \in \mathbb{N} \\ \end{array} \right.$

et donc on peut ré-écrire l'égalité précédente :

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 \\ = \cfrac{\pi^2}{4} + 2 \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \cfrac{1}{\pi^2 n^4}\left| (-1)^n-1 \right|^2= \cfrac{\pi^2}{4}+\cfrac{2}{\pi^2}\times \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4}\times (-2)^2= \cfrac{\pi^2}{4}+\cfrac{8}{\pi^2}\times \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4}$

en utilisant la parité de $f$ , on obtient pour le second membre :

$\cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(t) \right|^2 \ dt = \cfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} t^2 \ dt = \cfrac{1}{\pi}\times \left[ \cfrac{t^3}{3} \right]_0^{\pi}= \cfrac{1}{\pi}\times \cfrac{\pi^3}{3} = \cfrac{\pi^2}{3}$

Ainsi, on obtient que :

$\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \left| c_n(f) \right|^2 = \cfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| f(t) \right|^2 \ dt \Leftrightarrow \cfrac{\pi^2}{4}+\cfrac{8}{\pi^2}\times \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4} = \cfrac{\pi^2}{3} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4} = \cfrac{\pi^2}{8}\times \left( \cfrac{\pi^2}{3}-\cfrac{\pi^2}{4} \right)  \Leftrightarrow  \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4} = \cfrac{\pi^2}{8}\times \cfrac{\pi^2}{12} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{+\infty} \cfrac{1}{(2k+1)^4} = \cfrac{\pi^2}{96}$

Posté par re : coefficients de Fourier 14-08-22 à 11:18

C'est correct, mais tu as fait deux IPP alors que tu aurais pu n'en faire qu'une en remarquant que

$2\pi c_n(f) =\int_0^\pi u(e^{inu} + e^{-inu})du = 2\int_0^\pi u\cos(nu)du$

Ce qui conduit à $\pi c_n(f) = [u\sin(nu)/n]_0^\pi - \int_0^\pi \sin(nu)/ndu = 0 + 1/n^2(\cos(n\pi) - \cos(0)) = \dfrac{(-1)^n - 1}{n^2}$ .

Le crochet étant clairement nul parce que le sinus d'un multiple de pi l'est, et $\cos(n\pi) = (-1)^n$ étant une égalité bien connue.

Ce que tu as fait est parfaitement correct, mais moins clair à mon sens, en plus de pousser à l'erreur

Pour le reste, c'est la beauté des mathématiques qui s'exprime dans ce 4 qui se simplifie comme magiquement

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