Niveau école ingénieur

Coercivité

Posté par
Flewer 31-12-17 à 00:24

Bonjour,

Je bloque sur une question d'un exercice sur les distributions (application du théorème de Lax-Milgram, formulation faible,...)

Voici l'énoncé :

On considère un domaine borné $\Omega = ]a,b[$ , $(-\infty < a < b < +\infty)$ , et le problème suivant pour $V=H_0^1(\Omega)$ :

Chercher $u\in V$ tel que $\forall v \in V, a(u,v)=b(v)$ avec
$a(u,v)=\int _{\Omega} u'v' + \lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy$ ;
$b(v)=\int _{\Omega}v$

où $K\in L^2(\Omega ^2), \lambda \in \mathbb{R}$ .

1) Montrer que si $(u,v)\in L^2(\Omega )^2$ ,
$|\int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy|\leqslant ||K||_{L^2(\Omega ^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)}$ .

2) Montrer que $a$ est bilinéaire et continue sur $V$ .

3) Montrer que $a$ est coercive si $|\lambda|\leqslant \lambda *$ , pour une valeur de $\lambda *$ que l'on précisera.

Je m'arrête là pour l'instant car je sais a priori faire le reste.
Je suis donc bloqué à la question 3), si vous avez des pistes, je suis preneur.

Merci d'avance !

Posté par re : Coercivité 31-12-17 à 12:46

Bonjour Flewer
Je conserve ce topic qui m'intéresse. Je vais voir à me replonger dans ce type de sujet.
En te souhaitant de bonnes fêtes 🎉🥂

Posté par re : Coercivité 01-01-18 à 12:58

Salut jsvdb, bonnes fêtes à toi aussi et bonne année !

Posté par re : Coercivité 02-01-18 à 23:49

Bonne année à toi également.
Alors, j'ai ceci pour toi :

Pour tout $u \in H_0^1(\Omega) :$

$a(u;u) = \int_{\Omega}^{}{(u')^2} + \lambda \int_{\Omega}^{}{K(x;y)u(x)u(y)} \geq ||u'||^2_{L^2(\Omega)}-|\lambda|.||K||_{L^2(\Omega^2)}.||u||^2_{L^2(\Omega)}$ en se servant de la Q1.

Et sur $H_0^1(\Omega)$ , l'application $u \mapsto ||u'||_{L^2(\Omega)}$ est une norme équivalente à la norme induite par $H^2$ : c'est la norme de Poincaré.

Donc pour $|\lambda|$ suffisamment petit à préciser, $a$ est coercive.

Posté par re : Coercivité 03-01-18 à 13:46

Je crois qu'on même se payer le luxe de trouver la meilleure constante qui vérifie $||u||^2_{L^2(\Omega)} \leq C^2.||u'||^2_{L^2(\Omega)}$

On a donc $\dfrac{||u'||^2}{||u||^2}\geq 1/C^2$ .

Je fais quelques raccourcis : on est amené à trouver $\inf \{||u'||^2 : ||u|| = 1;~ \forall u \in H_0^1(]a;b[) \}$

C'est un problème d'extremum lié et l'inf est $\lambda(]a;b[)$ , première valeur propre non nulle de $-\Delta$ dans $H_0^1(]a;b[)$ .

Supposons l'inf atteint en $u : \begin{cases} -u''=\lambda u \\ u(a)=u(b)=0 \end{cases}; \lambda >0$

On a donc $u(x) = A\cos(\sqrt \lambda x) + B \sin (\sqrt \lambda x)$

Les conditions initiales amènent au système $\begin{cases} A \cos(\sqrt \lambda a) + B \sin (\sqrt \lambda a) = 0 \\ A \cos(\sqrt \lambda b) + B \sin (\sqrt \lambda b) = 0 \end{cases}$

Pour qu'il possède des solutions non triviales, le déterminant doit être nul, ce qui amène à $\lambda = \left(\dfrac{\pi}{b-a} \right)^2$

Je prends $a = 0$ et $b = 1$ pour simplifier les calculs : on trouve $u(x) = B \sin (\pi x)$

Comme $||u||^2 = 1$ , on trouve $B = \sqrt 2$

Puis $||u'||^2 = \pi^2$ d'où $C = \pi$

Enfin,

Citation :
pour une valeur de $\lambda *$ que l'on précisera.

$\lambda ^*(]0;1[) = \dfrac{1}{||K||\pi}$

_{Sauf erreur}

Posté par re : Coercivité 03-01-18 à 15:01

Je ne comprends pas ta première inégalité, en utilisant je suppose la deuxième inégalité triangulaire.

Cette inégalité ne dit-elle pas $||x+y|| \geq |||x||-||y|||$ ? J'ai l'impression que tu l'utilises de façon à oublier la norme à gauche.

Posté par re : Coercivité 03-01-18 à 15:19

Citation :
1) Montrer que si $(u,v)\in L^2(\Omega )^2,~|\int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy|\leqslant ||K||_{L^2(\Omega ^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)}$ .

Je n'utilise aucune IT mais le fait que $\forall X \in \R,~ \forall Y \in \R_+,~|X| \leq Y \Rightarrow X \geq -Y$
Donc en appliquant à la citation avec un coeff $\lambda$ en plus :

$\lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy\geq -|\lambda|. ||K||_{L^2(\Omega^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)}$ puis avec $u = v$

$a(u;u) = \int_{\Omega}^{}{(u')^2} + \lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)u(x)dxdy\geq ||u'||^2_{L^2(\Omega)} -|\lambda|. ||K||_{L^2(\Omega^2)}||u||^2_{L^2(\Omega)}$

Ensuite, comme $\Omega$ est borné on utilise l'équivalence des normes $H^1$ , restreinte à $H^1_0$ , et celle de Poincaré sur $H^1_0$ et on a le résultat.

Posté par re : Coercivité 03-01-18 à 16:25

Ah, effectivement, je ne l'avais pas vu comme ça, merci !

Tout à fait, on a dans mon cours directement l'inégalité de Poincaré pour un ouvert borné, ce qui donne l'équivalence des normes.

Merci pour ton aide, et joli coup pour ton optimisation !

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