Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

Coercivité

Posté par
Flewer
31-12-17 à 00:24

Bonjour,

Je bloque sur une question d'un exercice sur les distributions (application du théorème de Lax-Milgram, formulation faible,...)

Voici l'énoncé :

On considère un domaine borné \Omega = ]a,b[, (-\infty < a < b < +\infty), et le problème suivant pour V=H_0^1(\Omega) :

Chercher u\in V tel que  \forall v \in V, a(u,v)=b(v) avec
a(u,v)=\int _{\Omega} u'v' + \lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy;
b(v)=\int _{\Omega}v

K\in L^2(\Omega ^2), \lambda \in \mathbb{R}.

1) Montrer que si (u,v)\in L^2(\Omega )^2,
|\int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy|\leqslant ||K||_{L^2(\Omega ^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)}.

2) Montrer que a est bilinéaire et continue sur V.

3) Montrer que a est coercive si |\lambda|\leqslant \lambda *, pour une valeur de \lambda * que l'on précisera.

Je m'arrête là pour l'instant car je sais a priori faire le reste.
Je suis donc bloqué à la question 3), si vous avez des pistes, je suis preneur.

Merci d'avance !

Posté par
jsvdb
re : Coercivité 31-12-17 à 12:46

Bonjour Flewer
Je conserve ce topic qui m'intéresse. Je vais voir à me replonger dans ce type de sujet.
En te souhaitant de bonnes fêtes 🎉🥂

Posté par
Flewer
re : Coercivité 01-01-18 à 12:58

Salut jsvdb, bonnes fêtes à toi aussi et bonne année !

Posté par
jsvdb
re : Coercivité 02-01-18 à 23:49

Bonne année à toi également.
Alors, j'ai ceci pour toi :

Pour tout u \in H_0^1(\Omega) :

a(u;u) = \int_{\Omega}^{}{(u')^2} + \lambda \int_{\Omega}^{}{K(x;y)u(x)u(y)} \geq ||u'||^2_{L^2(\Omega)}-|\lambda|.||K||_{L^2(\Omega^2)}.||u||^2_{L^2(\Omega)} en se servant de la Q1.

Et sur H_0^1(\Omega), l'application u \mapsto ||u'||_{L^2(\Omega)} est une norme équivalente à la norme induite par H^2 : c'est la norme de Poincaré.

Donc pour |\lambda| suffisamment petit à préciser, a est coercive.

Posté par
jsvdb
re : Coercivité 03-01-18 à 13:46

Je crois qu'on même se payer le luxe de trouver la meilleure constante qui vérifie ||u||^2_{L^2(\Omega)} \leq C^2.||u'||^2_{L^2(\Omega)}

On a donc \dfrac{||u'||^2}{||u||^2}\geq 1/C^2.

Je fais quelques raccourcis : on est amené à trouver \inf \{||u'||^2 : ||u|| = 1;~ \forall u \in H_0^1(]a;b[) \}

C'est un problème d'extremum lié et l'inf est \lambda(]a;b[), première valeur propre non nulle de -\Delta dans H_0^1(]a;b[).

Supposons l'inf atteint en u : \begin{cases} -u''=\lambda u  \\ u(a)=u(b)=0  \end{cases}; \lambda >0

On a donc u(x) = A\cos(\sqrt \lambda x) + B \sin (\sqrt \lambda x)

Les conditions initiales amènent au système \begin{cases} A \cos(\sqrt \lambda a) + B \sin (\sqrt \lambda a)  = 0  \\ A \cos(\sqrt \lambda b) + B \sin (\sqrt \lambda b)  = 0  \end{cases}

Pour qu'il possède des solutions non triviales, le déterminant doit être nul, ce qui amène à \lambda = \left(\dfrac{\pi}{b-a} \right)^2

Je prends a = 0 et b = 1 pour simplifier les calculs : on trouve u(x) = B \sin (\pi x)

Comme ||u||^2 = 1, on trouve B = \sqrt 2

Puis ||u'||^2 = \pi^2 d'où C = \pi

Enfin,

Citation :
pour une valeur de \lambda * que l'on précisera.

\lambda ^*(]0;1[) = \dfrac{1}{||K||\pi}

Sauf erreur

Posté par
Flewer
re : Coercivité 03-01-18 à 15:01

Je ne comprends pas ta première inégalité, en utilisant je suppose la deuxième inégalité triangulaire.  

Cette inégalité ne dit-elle pas ||x+y|| \geq |||x||-||y||| ? J'ai l'impression que tu l'utilises de façon à oublier la norme à gauche.

Posté par
jsvdb
re : Coercivité 03-01-18 à 15:19

Citation :
1) Montrer que si (u,v)\in L^2(\Omega )^2,~|\int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy|\leqslant ||K||_{L^2(\Omega ^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)}.

Je n'utilise aucune IT mais le fait que \forall X \in \R,~ \forall Y \in \R_+,~|X| \leq Y \Rightarrow X \geq -Y
Donc en appliquant à la citation avec un coeff \lambda en plus :

\lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)v(x)dxdy\geq -|\lambda|. ||K||_{L^2(\Omega^2)}||u||_{L^2(\Omega)}||v||_{L^2(\Omega)} puis avec u = v

a(u;u) = \int_{\Omega}^{}{(u')^2} + \lambda \int _{\Omega}\int _{\Omega} K(x,y)u(y)u(x)dxdy\geq ||u'||^2_{L^2(\Omega)} -|\lambda|. ||K||_{L^2(\Omega^2)}||u||^2_{L^2(\Omega)}

Ensuite, comme \Omega est borné on utilise l'équivalence des normes H^1, restreinte à  H^1_0, et celle de Poincaré sur H^1_0 et on a le résultat.

Posté par
Flewer
re : Coercivité 03-01-18 à 16:25

Ah, effectivement, je ne l'avais pas vu comme ça, merci !

Tout à fait, on a dans mon cours directement l'inégalité de Poincaré pour un ouvert borné, ce qui donne l'équivalence des normes.

Merci pour ton aide, et joli coup pour ton optimisation !

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1324 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !