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Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths

Posté par
princeleking
22-08-18 à 18:00

Bonjour à tous,
A la rentrée je vais aller en classe de PCSI et pour bien la préparer nos professeurs nous ont demandé de faire des exercices et voilà que je bloque sur plusieurs question.
Voici l'énoncé ( j'étais volontiers pour le recopier mais ça fini en un gros hiéroglyphe ) c'est pour ça je que fais des capture d'écran.

J'ai réussi à faire les questions 1 et 2 de la partie I mais pour la question 3a je vois pas comment m'y prendre j'ai pensé que Un = ∫1 à n 1/k^2 dk mais ça ne m'avance pas beaucoup. Aussi j'ai l'impression que la question 3b et 4 sont pareilles je ne vois pas trop la différence.


Merci à l'avance

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 18:14

salut

un pb sans énoncé est vite résolu ...

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 18:15

euh je l'avais pourtant joins dsl

** image supprimée **conformément à Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 18:49

ben finalement peux pas envoyer le scan
bon je vais essayer de recopier
I)  
1 on définit par( Un) avec n appartenant à N*  Un= 1/k^2

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 18:56

j avais pas fini

Un= Somme de k=1 à n de 1/k^2

1) Dmq Un croissante : FAIT
2) a Dmq pour tout K> ou = 2 et K entier naturel
pour tout x appartenant à [K-1,K]  1/k^2<= 1/x^2 : FAIT
b) En déduire pour tout K> ou = 2 et K entier naturel
pour tout x appartenant à [K-1,K] 1/k^2<= de k-1 à k dx/x^2
: FAIT

3) a déduire de la question précédente que Un<= 1+1àn de dx/x^2

Je n'arrive pas

b) en déduire un majorant de Un

4) déduire que Un convergente et donner un mjorant de sa limite

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 19:01

\dfrac 1 {k^2} = \int_{k - 1}k 1 dx

donc 3/ se déduit d'avant en remarquant que \int_1^n ... = \int_1^2 ... + \int_2^3 ... + ... + \int_{n - 1}^n ...

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 19:08

euh je ne crois pas tout saisir

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 19:39

carpediem @ 22-08-2018 à 19:01

\dfrac 1 {k^2} = \int_{k - 1}^k 1 dx

donc 3/ se déduit d'avant en remarquant que \int_1^n ... = \int_1^2 ... + \int_2^3 ... + ... + \int_{n - 1}^n ...

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 20:45

Mais c'est quoi 1dx ?

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 21:42

u peu de sérieux !!!

tu vas en prépa et tu ne connais pas les intégrales ?

il est peut-être temps d'ouvrir un ((ton) cahier de) cours ou/et d'exo !!!

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 21:44

Et bien je connais les intégrales sauf que je ne comprends pas pour quoi vous avez écrit 1dx alors que dans l exo c'est  1/x^2 dx


Merci de votre temps en tout cas

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 21:50

non tu ne connais pas ton cours ...

\int_a^b 1dx est l'intégrale de la fonction constante x \maspto 1 de a à b ...

... mais bon la piste que je t'ai proposé n'a pas d'intérêt ... désolé ...


calcule plutôt \int_{k - 1}^k \dfrac 1 {x^2} dx et montre que c'est supérieur à 1/k^2

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 21:53

Ah ok merci je ne comprenais pas ce que 1dx faisait la dedans .
Merci pour la nouvelle piste j'y réfléchis et je vous dit ce que je trouve demain. Si ça ne vous dérange pas pas bien sûr 😁

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 22:24

no problemo ...

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 22-08-18 à 22:25

mais bon on peut y arriver tout de même avec ce que je proposais ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 11:20

Bonjour,
J'ai l'impression que ce qui dérangeait princeleking, ce n'est pas l'intégrale dans \dfrac 1 {k^2} = \int_{k - 1}^k 1 dx mais l'égalité qui est fausse en général.

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 11:30

tu as tord ... et tu as raison !!! (sur mon résultat qui est faux)

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 12:31

Bonjour ,
je voulais vous demander : est-ce qu'on peut dire que k-1 k 1/k^2dk = 1/k^2
ça me semble bizarre mais j'y pensait vu que k ça reste à k je sais que ce n'est pas très claire ce que je dis mais...

Merci à l'avance

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 12:37

Au fait j'ai oublié de vous dire que je croyais avoir réussi la question 2b mais au fait je me suis rendu compte que je me suis trompé dans mon raisonnement c'est pour ça que j'ai posé la question précédente. J'ai calculé comme me la dit Carpediem k-1k 1/x^2 dx et j'ai trouvé que ça faisait 1/k^2-1 ce qui montre que 1/k^2 est bien supérieur mais ce qui me perturbe c'est le " déduire" donc faut utiliser la question 2a mais je ne sais pas comment. On pourrait utiliser la propriété de croissance de l'intégrale mais pour ça il me savoir comment calculer  k-1 k 1/k^2dk = 1/k^2

Posté par
Glapion Moderateur
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:00

Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths
1/k² c'est l'aire du rectangle entre k et k+1 et

\int_k^{k+1}\frac{dx}{x^2} c'est l'aire sous la courbe verte

Vu de la fonction f(x) = 1/x² est décroissante l'intégrale est forcement plus petite.

(et d'ailleurs l'intégrale est facile à calculer si tu veux vérifier)

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:07

Je comprends votre raisonnement mais je ne vois pas comment l'utiliser

En tout cas merci pour la réponse

juste une question comment vous faite pour faire faire le symbole intégrale avec les borne en haut et en bas

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:08

Je voulais aussi demander pourquoi vous vous avez pu mettre une image et pas moi ?

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:16

C'est bon c'est bon j'ai trouvé pour 2b j'ai compris mais pour la 3 je reste bloqué

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:55

Pour le symbole intégrale, il y a le bouton LTX sous la zone de saisie. Celui avec des points rouges est très pratique.
Pour exposants ou autre, il y a aussi les boutons X2 ...

Mettre une image qui n'est pas du texte est autorisé

Posté par
Glapion Moderateur
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 13:58

Tu veux montrer que U_n \le   1 + \int_1^n \dfrac{dx}{x^2} ?
Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths

remarque que tu as aussi \int_k^{k+1} \dfrac{dx}{x^2} \ge \dfrac{1}{(k+1)^2}
et donc regarde ce que ça donne en sommant ces inégalités entre 1 et n

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:11

oui je veux montrer ça

j'ai demontré que 1/x2 k-1k dx/x2

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:11

Citation :
J'ai calculé comme me la dit Carpediem k-1k 1/x^2 dx et j'ai trouvé que ça faisait 1/k^2-1
ça me semble faux à double raison (dont une est toujours cette absence de parenthèses)

on se rappellera utilement que f \le g => \int f \le \int g ...

c'est d'ailleurs ce qu'exprime le graphique de Glapion

...

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:12

AH je voulais dire 1/K2 et non 1/x2

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:14

effectivement il manque des parenthèses c'est 1/k^2-k

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:15

je ne vois pas comment transformer Un qui est une somme en intégrale

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:20

princeleking @ 23-08-2018 à 14:14

effectivement il manque des parenthèses c'est 1/k^2-k
toujours faux ...

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:21

princeleking @ 23-08-2018 à 14:15

je ne vois pas comment transformer Un qui est une somme en intégrale
carpediem @ 22-08-2018 à 19:01

\dfrac 1 {k^2} = \int_{k - 1}k 1 dx

donc 3/ se déduit d'avant en remarquant que \int_1^n ... = \int_1^2 ... + \int_2^3 ... + ... + \int_{n - 1}^n ...

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:22

ah ouais la primitive de 1/x^2 c bien -1/x et (-1/k)+(1/k-1)=1/(k^2-k)

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:26

donc Un=\int_{1}^{2}{1dx}+\int_{2}^3{1dx} ....+\int_{k}^{n}{1dx}

Posté par
carpediem
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:31

princeleking @ 23-08-2018 à 14:22

ah ouais la une primitive de 1/x^2 c bien -1/x et (-1/k)+(1/k-1)=1/(k^2-k)


princeleking @ 23-08-2018 à 14:26

donc Un=\int_{1}^{2}{1dx}+\int_{2}^3{1dx} ....+\int_{k}^{n}{1dx}
faux

u_n = \sum_{k = 1}^n \dfrac 1 {k^2} \int_{k - 1}^k 1dx

Posté par
Glapion Moderateur
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:34

Ajoute donc ces inégalités membre à membre \int_k^{k+1} \dfrac{dx}{x^2} \ge \dfrac{1}{(k+1)^2} donc jusqu'à k = n-1

ça donne \int_1^{n} \dfrac{dx}{x^2} \ge  \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n ^2}  \int_1^{n} \dfrac{dx}{x^2} \ge  U_n-1 et voilà, on y est.

Posté par
princeleking
re : Coincé à un exo pour la préparation de la prépa maths 23-08-18 à 14:43

aaaaaaaaaahhhhhhhh j'ai compris merci merci merciiiiiiii



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