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Niveau énigmes
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Combien d’alignements de 3 points ?

Posté par
derny
08-06-21 à 08:39

Dans le quadrillage de 5x5 points ci-dessous il y a 16 alignements de 3 points (je vous laisse vérifier). Il y a plus de 30 ans je posais le problème suivant : Combien d'alignements de 3 points compte un quadrillage de 20x20 points ? (Question N°1) Je pense que j'ai été le premier a donner la formule générale (pas simple) qui donne le nombre d'alignements de k points dans un quadrillage de nxn points.
Un vieux professeur de Suisse (aujourd'hui décédé), spécialiste de la théorie des nombres, trouvant ce problème intéressant m'avait donné les clés pour prolonger cette question dans les autres dimensions (en fait j'ai pu calculer sans tout comprendre).
Question 2 : Combien d'alignements de 3 points compte un « quadrillage cubique » de 20x20x20 points ? Puis, question 3 avec un hypercube de 20x20x20x20 points ?
La première question n'est pas simple et les suivantes sont difficiles. Peut-être peut-on trouver les réponses sans passer par la théorie, uniquement avec la programmation.

Combien d’alignements de 3 points ?

Posté par
derny
re : Combien d’alignements de 3 points ? 08-06-21 à 08:40

....à donner ....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Combien d’alignements de 3 points ? 08-06-21 à 09:35

Bonjour derny,
Et merci pour ce nouveau "challenge" \;
"alignement de 3 points" est à comprendre "droite contenant exactement 3 points" ?
Donc pas d'alignement horizontal ni vertical, ni grandes diagonales ?

Posté par
derny
re : Combien d’alignements de 3 points ? 08-06-21 à 09:44

Oui bien sûr.
Grande diagonale, horizontal et vertical admis pour n=3 uniquement.

Posté par
derny
re : Combien d’alignements de 3 points ? 15-06-21 à 18:36

Bonjour
Un premier indice évident : en raison des symétries n'étudier que les pentes strictement comprises entre 0 et 45 degrés.

Posté par
derny
re : Combien d’alignements de 3 points ? 17-06-21 à 19:24

Bonsoir
Un deuxième indice : l'Indicateur d'Euler intervient dans la formule

Posté par
derny
re : Combien d’alignements de 3 points ? 25-06-21 à 16:02

Bonjour
Je ne sais pas si certains d'entrevous cherchent encore car aucune proposition n'est parvenue. Il est vrai que la résolution est difficile. Aussi je donne ex abrupto les réponses :
En 2D (question 1) : 4 332
En 3D : 1 746 936
En 4D : 487 848 336



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