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Combien de cubes
Bonjour ! J'ai cet exercice à faire, et je n'y comprend rien . Votre aide serait la bienvenue ^^
Judith dispose de 100 cubes. Elle les empile sur une seule rangée selon le procédé ci-contre. Elle se demande jusqu'à quelle étape de la construction elle pourrait aller et combien de cubes lui resterait alors .
a) Déterminez le nombre total de cubes empilés à l'étape 4 puis à l'étape 5
b) Combien de cubes sont nécessaires pour passer de l'étape 3 à l'étape 4 ? de l'étape (n-1) à l'étape n ? (n entier naturel, n
2)
Complétez l'algorithme ci-contre dont le but est d'afficher le nombre N d'étapes que l'on peut réaliser avec 100 cubes et le nombre R de cubes restants .
S est le nombre total de cubes empilés à l'étape N .
Complétez le tableau d'avancement de l'algorithme jusqu'à 4.
Algorithme à compléter : N reçoit 0
S reçoit 0
R reçoit 100
Tant que R N + 1
N reçoit ...
S reçoit ...
R reçoit ...
FinTant que
Afficher ...
Afficher ...
On donne ci-contre un programme sur Casio :
0
N
0S
100R
While RN+1
N+1N
S+NS
R-NR
WhileEnd
"N=" : N
"R=" : R
Voilà j'espère vraiment que vous pourrez m'aider . Merci d'avance !
Salut !
En fait, je crois qu'il n'y a même pas besoin d'un algorithme : un simple calcul suffit.
En effet, le nombre de cubes empilés sur n étages est égal à 1+2+3+...+n. Or, on remarque facilement que (on prend n = 10 pour avoir un exemple concret) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (10+1)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11+11+11+11+11 = (10/2)(10+1). Explications : on regroupe les termes de telle sorte qu'on ai des groupes de (a+b). Le premier groupe (a+b) sera égal à (n+1), le deuxième à ((n-1) + 2), etc.
On a donc : la somme des n premiers nombres est égale à (n²+n)/2.
Bien sûr, il existe une démonstration bien plus rigoureuse que celle-là, mais je ne la donnerais pas ici. Avec cette méthode, on peut également trouver la somme des n premiers carrés, des n premiers cubes etc. Une piste : on sait, pour la somme des n premiers nombres, que f(n)-f(n-1) = n.
La prochaine étape consiste à trouver le nombre n d'étages qu'on peut faire avec x cubes :
On sait que x = (n²+n)/2. Il faut maintenant chercher n en fonction de x.
Voici mon raisonnement :
x = (n²+n)/2 
2x = n²+n.
Au passage, je vais te montrer une méthode pour avoir la forme canonique d'un polynôme du second degré (ici n²+n) :
On veut trouver la forme (an+b)² + c = n²+n a²n² + 2abn + b² + c = n²+n.
a² = 1, puisque dans n²+n, on a le facteur de n² égal à 1, donc a = 1
et 2ab = 1, donc b = 1/2 et b² + c = 0, donc c = -1/4
Donc n²+n = (n+1/2)² - 1/4.
(la forme canonique, c'est quand l'inconnue n'apparait qu'une fois).
Pour revenir au problème, 2x = (n+1/2)² - 1/4 n = 
(2x+1/4) - 1/2
Donc on a n = (2*100 + 1/4) - 1/2 
13.65.
On peut donc faire 13 étages avec 100 cubes et il restera la différence du nombre de cubes pour faire 13 étages et de 100.
J'espère que tu as tout compris.
Bonne chance.
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