Bonjour,

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Finalement il n'a perdu qu'une feuille paginée 49 et 50.

Bonjour Dpi

Je pense que non

Imod

Bonjour,

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Il a perdu 3 feuilles

Plusieurs possibilités ... mais toujours 3 feuilles

Parmi les possibilités, en voici une  :

- feuille contenant les pages 1 et 2
- feuille contenant les pages 3 et 4
- feuille contenant les pages 45 et 46

C'est la bonne réponse Candide2 , ici l'idée n'est pas de lister toutes les possibilités mais de justifier l'unicité de la réponse "à la main" .
Imod

A noter que perdre une page revient à perdre deux numéros donc
5050-4949=101
*perdre la page concernant au recto 50 et au verso 51 convient sauf
incompréhension de ma part

Effectivement il faut que la recto soit impair....

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si on enlève la page 1 ,la page 11 et la page  37 par exemple
on a 5050-3-23-75=4949 on peut lister quelques cas...

Bonjour,
Le nombre de feuilles perdues est impair.
Après avoir trouvé une possibilité avec p feuilles, vu l'énoncé, on sait que la réponse est p.
Mais il semble que ça ne convienne pas à l'auteur du problème...

Je reformule la question :
Montrer que l'on peut déterminer le nombre de feuilles que le livre a perdues.

Bonsoir

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je trouve par exemple plus de 3 feuilles :
(5,6)  (7,8) (9,10) (11,12) (16,17)  la somme fait 101

..j'ai ecris des bêtises ne pas tenir compte de ma réponse

Bonjour;

Approche pour trouver le nombre de feuilles ...

une page a son recto impair, donc = 2n-1 et son verso pair donc 2n
La somme pour une feuille est donc 4n - 1

On montre immédiatement que 1 seule feuille est impossible (car 49+50 et 51+52 sont différents de 101)
Nombre max possible de feuilles : Si on fait la somme pour les 7 premières feuilles, la somme est 105 donc > 101 ... et donc le nombre de feuilles est <= 6

On a donc 2 <= Nombre de feuilles <= 6

Si le nombre de feuilles est pair (2,4ou6) on arrive à une impossibilité.
Je le montre pour nombre de feuilles = 4 (même méthode si 2 ou 6) : on a somme = (4a - 1) + (4b - 1) + (4c - 1) + (4c - 1) = 101
4(a+b+c+d) - 4 = 101
4.(a+b+c+d) = 105 ... ce qui impossible car une membre est pair et l'autre impair.

Possibilités restantes pour nombre de feuilles : 3 ou 5  

On peut alors tester tous les cas (pas très difficile) pour montrer que 5 est impossible et que 3 fonctionne.

Bonsoir,
Pour montrer le nombre impair de feuilles :
Une feuille donne une somme (2p+1) + (2p +2)= 4p+3
k feuilles donnent une somme de la forme 4q+3k.
4q+3k = 101 implique 3k = 101 - 4q.
101-4q est impair ; donc k est impair.

Je ne m'y attendais pas, mais en l'écrivant j'ai réalisé que l'on peut éliminer k = 5 :
15 = 101 - 4q donne 4q = 86 qui est impossible.

J'ai la liste des pages "arrachées"possibles:

Il faut supprimer les paires
soit:

Bon tout a été dit ou presque

Initialement le livre est composé de 50 feuilles , le recto de la i^ème feuille est numéroté 2i-1 et le verso 2i pour un total de 4i-1 . Il manque 101 au total des numéros des pages . On note k le nombre de feuilles arrachées et n₁ , n₂ , ... , n_k les numéros de ces k feuilles . On a alors 4(n₁+n₂+...+n_k)-k=101 . Si k est supérieur ou égal à 7 alors le membre de gauche est supérieur ou égal à 105 ce qui est impossible donc k est inférieur ou égal à 6 .  Maintenant si on regarde l'égalité modulo 4 on a ce qui revient à . Donc k est égal à 3 et n₁+n₂+n₃=26 qui est possible de multiples façons en arrachant par exemple les pages 6 , 8 et 12 .

Il y a quand même pas mal de petites choses derrière ce petit exercice d'apparence anodine

Merci aux participants .

Imod

Oui, inutile de passer par k impair :
3k = 101 - 4q donne 4(q+k-26) + 3 = k.

Merci Imod ; je me suis bien amusée

Bonsoir ,
voici les pages concernées:


1 2  3 4  45 46
1 2  5 6  43 44
1 2  7 8  41 42
1 2  9 10  39 40
1 2  11 12  37 38  , lire pages 1 et 2 puis 11 et 12 puis 37 et 38
1 2  13 14  35 36
1 2  15 16  33 34
1 2  17 18  31 32
1 2  19 20  29 30
1 2  21 22  27 28
1 2  23 24  25 26
3 4  5 6  41 42
3 4  7 8  39 40
3 4  9 10  37 38
3 4  11 12  35 36
3 4  13 14  33 34
3 4  15 16  31 32
3 4  17 18  29 30
3 4  19 20  27 28
3 4  21 22  25 26
5 6  7 8  37 38
5 6  9 10  35 36
5 6  11 12  33 34
5 6  13 14  31 32
5 6  15 16  29 30
5 6  17 18  27 28
5 6  19 20  25 26
5 6  21 22  23 24
7 8  9 10  33 34
7 8  11 12  31 32
7 8  13 14  29 30
7 8  15 16  27 28
7 8  17 18  25 26
7 8  19 20  23 24
9 10  11 12  29 30
9 10  13 14  27 28
9 10  15 16  25 26
9 10  17 18  23 24
9 10  19 20  21 22
11 12  13 14  25 26
11 12  15 16  23 24
11 12  17 18  21 22
13 14  15 16  21 22
13 14  17 18  19 20

soit 45 possibilités de pertes de feuilles

Oui Flight , en fait il y en a 44 . Pour une meilleure lecture il suffit de donner le recto de chaque feuille . Le dénombrement se fait ensuite aisément à la main :

a , b et c entiers avec a + b + c = 26 et 0 < a <  b <  c < 24   .

Si a = 1 alors b + c = 25 : 11 solutions .
Si a = 2 alors b + c = 24 : 9 solutions .
Si a = 3 alors b + c = 23 : 8 solutions .
Si a = 4 alors b + c = 22 : 6 solutions .
Si a = 5 alors b + c = 21 : 5 solutions .
Si a = 6 alors b + c = 20 : 3 solutions .
Si a = 7 alors b + c = 19 : 2 solutions .

Imod

Ce sont les 44 du 29 à 22h32 (verso des pages )

Oui dpi, tu avais donné très clairement les 44 solutions.
C'est plutôt le recto des pages dans ta liste, non ?

@Dpi , c'est bien sûr la même liste , je montrais une autre présentation plus visuelle car je ne suis pas fan des tableaux de chiffres

Imod

J'avais compris que dpi parlait de la liste donnée par flight.

Ce sont toujours les mêmes listes , présentées différemment
Imod

bonjour 44 en effet pas 45 ....merci