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combinaison linéaire

Posté par titi91 (invité) 24-09-04 à 13:17

voilà je dois dire si chacune de ces deux affirmations est vraie ou fausse. Si elle vraie, je dois en donner la démonstration. Si elle est fausse, je dois indiquer pourquoi, en donnant soit un contre-exemple, soit la vraie valeur du résultat demandé.
1- Si chaque vecteur de la famille {u1,...uk} est combinaison linéaire des vecteurs v1,...,vk, alors chaque vecteur de cette famille {v1,...,vk} est combinaison linéaire des u1,...,uk.

2- Si les familles {u1,...,uk} et {v1,...,vk} sont libres, et si chaque uj est combinaison linéaire des v1,...,vk alors chaque vecteur vj est aussi combinaison linéaire des u1,...,uk.

Aidez moi svp je rame plus je coule carrément
merci beaucoup !

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 14:23

coucou
pour la première : par exemple on peut avoir U1=U2=...=Uk=V1 tous les vecteurs sont combinaison linéaire de V1...Vk et  si V2V1 on ne peut exprimer V2 en fonction des vecteurs U1 U2,...Uk.

Posté par titi91 (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 14:59

merci beaucoup flofuturprof ça me libère déjà beaucoup de cette question
mais tu n'aurais pas une idée pour démontrer la 2ème que je crois vrai stp??

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 17:19

dsl d'avoir mis tout ce temps à répondre j'étais en cours...
Bon là je suis nettement moins sûre mais bon j'ai l'impression que ça se tient.
soit u un vecteur de l'espace engendré par {U1,U2,...,Uk}, u est donc combinaison linéaire de ces vecteurs et comme chacun des vecteurs Uj est combinaison linéaire des vecteurs Vi u sera combinaison linéaire des vecteurs Vi.
tout ça pour dire que (U1,U2,....,Uk)(V1,V2,...,Vk)
on aura donc égalité entre les espaces dont une des bases est donc {U1,U2,....,Uk} .
Or les Vi appartiennent à cet espace, ils peuvent donc se décomposer dans la base {U1,U2,....,Uk}.

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 17:21

oups g oublié de dire qu'on avait égalité de dimension
et égalité de dim + l'un inclu dans l'autre donne égalité

Posté par titi91 (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 22:23

c'est pas grave d'avoir tardé à répondre c'est déjà super gentil de m'aider
par contre y'a des petits trucs que je ne comprends pas :
- d'où vient u et comment sais tu que u est un vecteur engendré par {U1,...,Uk}??
- comment tu en déduit que (U1,...,Uk)(V1,...,Vk)
je n'ai pas tout compris le lien avec ce qui précède??
désolé mais je ne comprends pas à grand chose à l'algèbre linéaire en général

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 24-09-04 à 23:11

ben à la base je prends u un vecteur de l'espace engendré par la famille des Uj nommons le E.
et on trouve donc que tout vecteur de cet espace appartient à l'espace engendré par la famille des Vi, qu'on appellera F.
ainsi EF
or ces espaces ont même dimension(k) et donc sont égaux.
tu me suis ???
La famille des Uj est une base de E(=F) et comme bien entendu les vecteurs Vi appartiennent à F on aura les Vi combinaison linéaire des Uj.
J'espère que j'ai été plus claire...je sais pas trop comment expliquer. Encore du progrès à faire pour être prof

Posté par titi91 (invité)re : combinaison linéaire 27-09-04 à 10:49

ba j'ai un peu de mal à comprendre mais je pense que ça vient plutôt de moi et non de ton explication
on a le droit de prendre un vecteur u comme ça appartenant à Vect{u1,...,uk}??
le reste je crois que je comprends à peu près
merci encore énormément

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 27-09-04 à 16:26

Tu peux piocher dedans j'ai tout refait en essayant de détailler...
Tu prends un vecteur appartenant à l'espace engendré par la famille {u1,...,uk} et tu montres qu'il appartient forcément à celui engendré par la famille {v1,...,vk}.

Ainsi tu as tous les vecteurs de Vect{u1,...,uk} qui appartiennent à Vect{v1,...,vk} donc Vect{u1,...,uk}Vect{v1,...,vk}. Il suffit ensuite de dire que les deux espaces sont de dimension k car les familles qui les engendrent sont libres et comptent k vecteurs. L'un des espaces est inclu dans l'autre et ils ont même dimension donc ils sont égaux.

La famille {u1,...,uk} est une famille libre par hypothèse et génératrice de Vect{u1,...,uk} par définition, donc c'est une base de Vect{u1,...,uk}.
Or on a prouvé que Vect{u1,...,uk}=Vect{v1,...,vk} donc {u1,...,uk} est une base de Vect{v1,...,vk}.
Les vecteurs v1,...,vk appartiennent forcément à Vect{v1,...,vk} ( vi= 0*v1+0*v2+...+1*vi+...+0*vk ).
Ils peuvent donc se décomposer dans la base (u1,...,uk) !
voilà voilà

Posté par titi91 (invité)re : combinaison linéaire 28-09-04 à 17:28

ça y est je crois que c'est bon ce coup ci
désolée de t'avoir embèté, de t'avoir fait répéter tant de fois
merci encore

Posté par flofutureprof (invité)re : combinaison linéaire 28-09-04 à 18:21

j'suis contente que ça aille bien !
Tu m'as pas du tout embêtée, c'est moi qui ai insisté !!!



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