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Combinaison linéaire, nombres premiers entre eux

Posté par
minimariine
20-09-15 à 12:04

Bonjour, je souhaiterais un peu d'aide pour cet exercice qui me cause quelques soucis. Je bloque sur la première question, je n'arrive pas à trouver les diviseurs communs à x et y. Merci de bien vouloir m'aider.


Soit (x;y) appartenant à Z. On pose A=x+y et B=2x+3y.

1/ Démontrer que tout diviseur commun à x et y divise A et B.
2/ Exprimer x et y en fonction de A et B.
    Démontrer que tout diviseur commun à A et B divise x et y.
3/ Démontrer que (2^n)+(3^n) et (2^n+1)+(3^n+1) sont premiers entre eux pour tout n entier naturel.

Posté par
sbarre
re : Combinaison linéaire, nombres premiers entre eux 20-09-15 à 12:09

Bonjour,

si k est un diviseur de x quelle égalité peut-on écrire?
idem pour y.
donc que valent A et B en fonction de k?
Conclusion....

2) 2(A)-(B) te donne ....   (A) étant l'égalité A=x+y et (B) ..
Faire de même pour trouver x ou le déduire de l'égalité (A).

3) utiliser les résultats précédents

Posté par
minimariine
re : Combinaison linéaire, nombres premiers entre eux 20-09-15 à 12:46

1/ Donc, si j'ai bien compris:
x divise y lorsqu'il existe un entier k tel que y= kx
... x= ky

A= x+y = ky+kx
et
B= 2x+3y = 2(ky)+3(kx)

De ce fait, tout diviseurs communs à x et y divise A et B.
(Si la rédaction est comme telle, c'est correcte ou il faut que j'explique davantage?)

2/ je ne comprend pas vraiment le raisonnement que vous m'avez donné, pourquoi 2(A)-(B)?

Posté par
sbarre
re : Combinaison linéaire, nombres premiers entre eux 20-09-15 à 21:19

Citation :
x divise y lorsqu'il existe un entier k tel que y= kx
oui c'est exact, mais ce n'est pas l'exercice. Ici on a un entier k qui divise à la fois x et y et donc on peut écrire que x = ka et y = kb   avec a et b deux entiers relatifs.

De ce fait A = x + y = ka + kb = k(a+b)  on en déduit que k est un diviseur de A !
de même B = 2x + 3y = ....

A=x+y     (A)
B=2x+3y   (B)

(B)-2(A) donne B-2A = 2x+3y - 2(x+y)
soit B-2A = y de plus puisque A = x + y on obtient A = x + B-2A
et donc x = ....



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