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combinaison linéaire (vrai ou faux)
bonjour à tous,
je bloque vraiment sur ces questions, je dois dire si chacune de ces deux affirmations est vraie ou fausse. Si elle vraie, je dois en donner la démonstration. Si elle est fausse, je dois indiquer pourquoi, en donnant soit un contre-exemple, soit la vraie valeur du résultat demandé.
1/ si Vect{u1,...,uk}=Vect{v1,...,vm}, alors chaque vecteur uj est combinaison linéaire des vecteurs v1,...,vm et vice-versa
2/Soit f une application linéaire de E (espace vectoriel considéré sont sur 
et de dimension finie) dans F (de même) et H un sous-espace vectoriel de E tel que H
ker f={0}. Soit u1,...,uk une base de H. Alors la famille {f(u1),...,f(uk)} est libre (dans F).
3/ Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension p dans un espace vectoriel F de dimension n avec p>n. Alors, le noyau de f est réduit au vecteur nul.
4/ Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension p et de base {e1,e2,...,ep}, F un espace vectoriel F de dimension n avec p>n et telle que dim ker f=p-n. Alors la famille {f(e1),f(e2),...,f(ep)} est un générateur de F.
merci d'avance de m'aider
Bonjour titi91
1) Vrai.
L'égalité revient à une double inclusion.
Vect{u1,...,uk} inclus dans Vect{v1,...,vm}
donc ui appartient à Vect{v1, ..., vm}
donc il s'écrit comme combinaision linéaire de v1 ... vm
2) Vrai
Soient a1 .. ak tels que:
a1 f(u1) + a2 f(u2) + ... + akf(uk) = 0
donc f(a1 u1 + ... + ak uk) = 0
donc a1 u1 + ... + ak uk appartient à H inter Ker f
donc c'est le vecteur nul.
donc a1 = ... = ak = 0
3) Faux
L'application nulle est un contre-exemple
4) A vu de nez, je dirai vrai mais je n'ai pas la preuve
4) f(e1), f(e2), ... f(ep) est un système générateur de im f
dim ker f + dim Im f = p
donc dim Im f = n
donc Im f = F
donc la réponse.
A vérifier
vraiment merci beaucoup tu m'enlève une grosse épine du pied bosse ça!!!
je vais bosser ça (cè ce que je voulais dire)
j'suis désolée de repartir sur ça que maintenant mais je ne comprends pas en quoi (pour la 3/) l'application est un contre exemple 
Re-Salut titi91 ! 
Je te rappelle la définition du noyau de f : c'est
Ker(f) = {x 
E | f(x) = 0}
Donc dans le cas de l'application nulle (c'est-à-dire qui à tout x associe f(x)=0) on a :
[pour tout x de E] [f(x)=0]
donc [pour tout x de E] [x Ker(f)]
Et donc en fait Ker(f) = E.
Et ceci est valable quelles que soient les dimensions de E et F...
Donc dès que l'on suppose p>n
0, on a Ker(f)=E et E n'est pas réduit au vecteur nul (puisque dim(E)=p>0...)
J'espère avoir été claire...
@+
Emma
et par contre est ce que la dimension p de E parce que n et p doivent être égaux ou supérieurs à 2?
je voulais demandé ce que c'était la dimension de p
est ce que ça peut être n'importe quoi selon le f(x) que l'on prend??
Je ne suis pas sûre d'avoir compris où tu voulais en venir, mais ... j'ai l'impression que tu raisonnes à l'envers.
Par exemple, dans (p=1) :
Pour les fonctions étudiées au lycée, on SAIT que l'on se place dans (même s'il faut préciser l'ensemble de définition de la fonction, cet ensemble est quand même inclus dans ...)
Plus généralement, quand on parle d'une fonction qui à x associe f(x), il faut quand même savoir au préalable à quoi correspond ce "x" :
Est-ce que c'est un réel, ou un couple (x1;x2) ou un p-uplet (x1;...;xp) (p quelconque mais fixé)....
Je ne suis pas sûre d'avoir répondu à ta question, alors, n'hésite pas 
@+
Emma
donc tout ça peut marcher quand p est plus grand?
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