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combinaisons linéaires

Posté par
pppa
06-06-15 à 14:16

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à résoudre l'exercice suivant :

On considère l'équation suivante, où a désigne un réel fixé, et où l'inconnue est le couple (x;y) élément de 2 :

ax + 2a²y -2a3 + a² + a = 0

Déterminer a pour que l'ensemble des couples (x;y) solution de l'équation soit stabe par combinaisons linéaires.

Préciser l'ensemble des solutions pour chacune des valeurs de a trouvées.


Pour vérifier la stabilité  par combinaison linéaire des couples cherchés, je pose :

(x;y)²,  (x';y')², , :
.(x;y) + .(x';y') = (.x + .x';.y + .y') vérifie l'équation, soit

a(.x + .x') + 2a²(.y + .y') - 2a3 + a² + a = 0.

Je ne parviens à trouver de méthode générale qui garantisse l'exhaustivité des solutions. Pourriez-vous m'indiquer comment la trouver ?
Par tâtonnements, j'ai trouvé que a = 0 et a  = 1 conviennent.

Merci par avance pour vos réponses.

Posté par
gggg1234
re : combinaisons linéaires 06-06-15 à 14:27

Dans ta derniere expression, rassemble les termes pour faire apparaitre l'equation initiale en x et y et en x' et y'
Cette expression vaudra 0

Il te restera une expression plus simple te permettant de repondre a la question

Posté par
pppa
re : combinaisons linéaires 06-06-15 à 14:45

Je n'ai pas compris ce que tu veux dire par "rassemble les termes" : il faut poser :

.(ax + 2a²y) + .(ax' + 2a²y') - 2a3 + a² + a = 0 ?

Peux-tu m'en dire un peu plus stp ? Merci

Posté par
gggg1234
re : combinaisons linéaires 06-06-15 à 14:54

Dans l'expression

(Pour simplifier je remplace lambda et mu par l et m

A(lx+mx') +2a2(ly+my')-2a3+a2+a
Tu rassemble:

(Alx+2a2ly) + (amx' +2a2my') -2a3 +a2+a

Comme x et y verifie l'equation initiale la premiere parenthse vaut
L(2a3-a2-a)
Et la seconde vaut
M(2a3-a2-a)

Donc au final

Il reste
(2a3-a2-a) ( m+l-1) =o

Comme ca dout etre nul quel que soit m et l
Tu en deduis que 2a3-a2-a doit etre nul donc
A=o
Ou
2a2-a-1=o
Soit a=1 ou a= -1/2
Sauf erreur

Posté par
pppa
re : combinaisons linéaires 06-06-15 à 15:23

C'est clair. Merci bcp pour ces explications  



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